101 divisions scalaires de l'octave

une tentative de comprendre le phénomène

 

 

Un amateur de musique demandait un jour « pourquoi le mode mineur est triste et pourquoi le mode majeur est joyeux ? » Cette question pose la question de la projection de ses propres souhaits de sens dans les manifestations audibles en même temps que le questionnement de la perception de ses sens. Mais reconnaître et nommer ses sentiments est dû à l'intégration de stéréotypes (conventionnés par la communauté), comme les larmes sont reconnues comme étant l'expression de la tristesse (alors que les larmes coulent pour d'autres raisons). Il c'était décidé par une suite de faits historiques et géographiques que nos deux modes occidentaux exprimeront nos deux sentiments opposés : la joie et la tristesse (l'expression de l'inconstance binaire - entre deux pôles). Et que par convention il fallait, pour l'un des intervalles « larges » et pour l'autre des intervalles « étroits ». Mais la liaison : intervalles étroits <=> tristesse et intervalles larges <=> gaité, est une convention éduquée, des repaires qui nous permettent par l'usage de nous sentir exister (capture de la conscience de la sensation) dans la variation de nos sentiments. Comme un arrêt sur la continuité, nous permet de reconnaître des différences, notre état de conscience nous oblige à faire des classifications pour mémoriser, reconnaître puis ressentir. Nous pourrions dire que notre état mental n'est pas assez développé pour percevoir et reconnaître le continuum (qui est reconnu dans le champ du sacré et inconscient). Dans le domaine profane (conscient), nous devons classer et créer des rapports imaginés obligatoires qui se retrouvent à fonctionner pour notre formation culturelle spécifique dû à notre contexte de vie géographique et historique. Ce n'est pas le mode mineur qui est triste, mais le contexte puis l'attitude humaine qui produit le mode mineur qui est triste et l'imprime (et vice versa pour le mode majeur) sur notre réaction éduquée qui a trouvé ses concordances : des liens repérés de reconnaissances existentielles nécessaires à se savoir en vie : on est attiré par la tristesse quand la musique est triste et poussé par la gaité quand la musique est joyeuse avec les modes convenus et reconnus.

Les modes sont des arrangements de différents intervalles (un intervalle forme une échelle). Pour maîtriser la construction des modes, nous pensons qu'il n'est pas inutile de comprendre d'abord le fonctionnement des échelles qui sont les constituants des modes. Voici un tableau descriptif et relationnel de la division équidistante de l'intervalle dominant : l'octave. Si l'octave est le premier intervalle divisé, c'est à cause de l'importance de sa prégnance : nous l'avons ailleurs comparé à un trou noir qui absorbe les micro-intervalles.

 

Quelques remarques d'algèbre élémentaire (al-jabr de l'ouvrage de l'Ouzbek Al-Khawarizmi de Samarcande au IXe siècle)

2. Une division paire de l'octave entraine à chaque fois la présence de la quarte augmentée (4+) ou (600 cents). Toutes les échelles divisées en nombre d'intervalles pairs disposent d'une note centrale, qui pour l'octave est irrémédiablement la quarte augmentée (4+), l'ancien « diabolus in musica » discriminé par l'Eglise catholique à la Renaissance (sic) aux XIVe et XVe siècles. Dans toutes les divisions paires de l'octave se retrouve immanquablement l'intervalle de 4te+ (ou 5-). 2√2= 1,41421.

3. Une division multiple de 3 (ternaire) impaire et paire (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, etc.) de l'octave entraine à chaque fois la présence de 3 tierces majeures (3M) ou (400 cents).
6. Une division multiple de six (6) paire retrouve à chaque fois le ton, la seconde majeure (2M) ou (200 cents), la 4+ (600 cents).
9. Une division multiple de neuf (9) (9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, etc.)
12. Une division multiple de douze (12) retrouve à chaque fois le demi-ton la seconde mineure (2m) ou (100 cents).

4. Une division paire de l'octave multiple de 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, etc.) entraine à chaque fois la présence de la tierce mineure (3m) ou (300 cents) et toujours la 4+ (600 cents).. 6te M (300+600=900).

5. Une division de l'octave (8ve) multiple de 5 (dont le diviseur ici la racine) qui se termine par zéro (0) retrouve toujours la 4+ (600 cents) puisque la division est paire.
5. Une division de l'octave (8ve) multiple de 5 (dont le diviseur ici la racine) qui se termine par cinq (5) retrouve toujours la tierce majeure (3M) ou (400 cents) et 6te m (400+400=800).

. La représentation de l'octave par 1200 cents est plus pratique que sonique, car 1200 est une image agrandie cent fois de 12. Tous les nombres (intervalles) non multiples de 100 sortent de Z12.

. Sur les 101 échelles octaviantes montrées ici, 50 sont à divisions paires, 51 échelles sont à divisions impaires dont 24 échelles (à partir de 5) sont à divisions premières. Une division de l'octave en dessous de 5 ne forme pas une échelle musicale, il n'existe pas de preuve mathématique, mais en dessous de 5 sons musicalement semble insuffisant pour l'humanité musicale.

. Nous sommes plus particulièrement intéressés théoriquement par les échelles asymétriques générées par les nombres premiers (nombres divisibles par 1 et par eux-mêmes uniquement) [1]. Ce type d'échelle génère des intervalles non redondants (non multiples) et permet l'exploration et l'audition d'intervalles inconnus et son échelle qui en résulte.

 

L'effet de puissance sur l'intonation octaviante :

 

 

L'idée du Champ Scalaire à 33 ans en 2013

. Nous avons l'ambition (depuis 1980) de construire un système de champs mouvants multiscalaires (the moving-multiscalar-fields) qui offre des liens, des rapprochements, des connexions dynamiques entre un nombre infini d'échelles (qui incluent leurs modes et leurs gammes) connues et inconnues, afin de se balader librement là où ça nous chante (par transport, correspondances, transitions, modulations, transposition, sauts, muances, métaboles, etc., mais pas déportation) seul-e (solo de gammes) ou à plusieurs (polyphonie de gammes). Nous visualisons le système de champs multiscalaires comme un espace multidimentionnel xD à coordonnés connectés et glissantes. De la glissade dépend le diapason : la fréquence étalon origine (reférence) sur laquelle tous s'accordent ou pas. Des diapasons glissants permettent de rallier toutes les gammes jusqu'à celles encore inconnues et isolées.

 

L'effet fractionnaire sur l'intonation octaviante :

 

. Les divisions successives de l'octave font que nous avons la suite de forme 1/x avec x élément de N (ensemble des entiers naturels) tel que : {1/2; 1/3; 1/4; ... 1/96; ... 1/100} des diviseurs de l'intervalle. Par contre, nous n'avons pas la suite de forme 1+x/x tel que : {2/x; 3/x; 4/x; 5/x; 7/x; 8/x; 9/x; ... }. Faisons un tableau des suites de fractions en ordonnée qui permet de les additionner en abscisse :

Là un tableau-repaire qui permet de comparer l'intervalle harmonique de sa série, son nom, sa traduction en cents et son équivalence ou son approximation tempérée (de l'égalité) :

 

Ces tableaux comparatifs permettent de nous donner une idée de ce qui fut nommé et ce que l'on nomme aujourd'hui.
Exemple : les demi-tons d'hier (avant le XXe siècle) sont compris entre l'échelle décaphonique ¹⁰√2 et ¹⁷√2 d'aujourd'hui.

...

Notes

[1] suite des nombres premiers de 1 à 1009 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 ; 101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 ; 127 ; 131 ; 137 ; 139 ; 149 ; 151 ; 157 ; 163 ; 167 ; 173 ; 179 ; 181 ; 191 ; 193 ; 197 ; 199 ; 211 ; 223 ; 227 ; 229 ; 233 ; 239 ; 241 ; 251 ; 257 ; 263 ; 269 ; 271 ; 277 ; 281 ; 283 ; 293 ; 307 ; 311 ; 313 ; 317 ; 331 ; 337 ; 347 ; 349 ; 353 ; 359 ; 367 ; 373 ; 379 ; 383 ; 389 ; 397 ; 401 ; 409 ; 419 ; 421 ; 431 ; 433 ; 439 ; 443 ; 449 ; 457 ; 461 ; 463 ; 467 ; 479 ; 487 ; 491 ; 499 ; 503 ; 509 ; 521 ; 523 ; 541 ; 547 ; 557 ; 563 ; 569 ; 571 ; 577 ; 587 ; 593 ; 599 ; 601 ; 607 ; 613 ; 617 ; 619 ; 631 ; 641 ; 643 ; 647 ; 653 ; 659 ; 661 ; 673 ; 677 ; 683 ; 691 ; 701 ; 709 ; 719 ; 727 ; 733 ; 739 ; 743 ; 751 ; 757 ; 761 ; 769 ; 773 ; 787 ; 797 ; 809 ; 811 ; 821 ; 823 ; 827 ; 829 ; 839 ; 853 ; 857 ; 859 ; 863 ; 877 ; 881 ; 883 ; 887 ; 907 ; 911 ; 919 ; 929 ; 937 ; 941 ; 947 ; 953 ; 967 ; 971 ; 977 ; 983 ; 991 ; 997 ; 1009 ;

[2] différentes propositions de mesures des intervalles : le savart, le cent, la fréquence en Hertz (Hz),

Bibliographie
. Pour l'introduction des mathématiques dans le système de 12 tons de la musique occidentale qui montre la simplicité du système, voir le petit livre de Pierre Barbaud « La Musique, discipline scientifique » (Dunod, 1968).
. Pour l'entretien et le développement de l'utilisation des mathématiques en musique (stochastique), Iannis Xenakis « Musiques Formelles » (Richard-Masse, 1963) et le rétablissement entre autres de la structure hors-temps préchrétien comme solfège élargi de la musique, Iannis Xenakis « Musique architecture » (Casterman, 1976).
. Pour l'impulsion à ma recherche de la nonoctaviation : André Riotte « Formalisation de Structures Musicales » (université Paris VIII, 197?), avec « Les échelles à congruence différente de 12 (modes courbes) ».
. Pour les prémices de la nonoctaviation : Ivan Wyschnegradsky « Loi de la pansonorité » (Contrechamps, 1953).
. Pour l'ouverture aux micro-intervalles : Jean Etienne Marie « L'homme musical » (Arthaud, 1976)

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