Exploration des échelles multiples du ton

à la recherche d'échelles nonoctaviantes

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LES ECHELLES MULTIPLES DU TON
octaviantes multiples de 6
200 cents ou 1,12246... = 6√2 = 21/6 = 1,1224620483093729814335330496792

 

Une division équidistante du ton correspond toujours à un nombre de hauteurs par octave :
Une division équidistante du ton par les nombres entiers (1; 2; 3; etc.) correspond à un nombre de hauteurs paires par octave et génère des intervalles redondants :

nom   description   rapport   quantification en cent  
1 ton <=> 6 hauteurs par octave <=> 21/6 = 6√2 = 1,12246 <=> 200  
1/2 ton <=> 12 hauteurs par octave <=> 21/12 = 12√2 = 1,05946 <=> 100  
1/3 ton <=> 18 hauteurs par octave <=> 21/18 = 18√2 = 1,03926 <=> 66,67 download .scl file
1/4 ton <=> 24 hauteurs par octave <=> 21/24 = 24√2 = 1,0293 <=> 50 download .scl file
1/5 ton <=> 30 hauteurs par octave <=> 21/30 = 30√2 = 1,02337 <=> 40 download .scl file
1/6 ton <=> 36 hauteurs par octave <=> 21/36 = 36√2 = 1,01944 <=> 33,34 download .scl file
1/7 ton <=> 42 hauteurs par octave <=> 21/42 = 42√2 = 1,01664 <=> 28,57 download .scl file
1/8 ton <=> 48 hauteurs par octave <=> 21/48 = 48√2 = 1,01455 <=> 25 download .scl file
1/9 ton <=> 54 hauteurs par octave <=> 21/54 = 54√2 = 1,01292 <=> 22,23 download .scl file
1/10 ton <=> 60 hauteurs par octave <=> 21/60 = 60√2 = 1,01162 <=> 20 download .scl file
1/11 ton <=> 66 hauteurs par octave <=> 21/66 = 66√2 = 1,01056 <=> 18,18 download .scl file
1/12 ton <=> 72 hauteurs par octave <=> 21/72 = 72√2 = 1,00967 <=> 16,67 download .scl file
1/13 ton <=> 78 hauteurs par octave <=> 21/78 = 78√2 = 1,00893 <=> 15,38 download .scl file
1/14 ton <=> 84 hauteurs par octave <=> 21/84 = 84√2 = 1,00829 <=> 14,28 download .scl file
1/15 ton <=> 90 hauteurs par octave <=> 21/90 = 90√2 = 1,00773 <=> 13,34 download .scl file
1/16 ton <=> 96 hauteurs par octave <=> 21/96 = 96√2 = 1,00725 <=> 12,5 download .scl file
1/17 ton <=> 102 hauteurs par octave <=> 21/102 = 102√2 = 1,00682 <=> 11,7647 download .scl file
...                
1/19 ton <=> 114 hauteurs par octave <=> 21/114 = 114√2 = 1,1,0061 <=> 10,526316  

. La division du ton correspond à une progression de 6 en 6 du nombre des degrés divisant l'octave.
. La division de l'octave est toujours paire dans la division du ton même par des nombres premiers.
. Les premières incursions dans la microtonalité ce sont faites à partir de la division du ton (Carillo, Wyschnégradsky)
. L'écoute peut s'affiner au-delà de 1/16e de ton. Bien que pour Carillo, le 1/16e de ton est la limite perceptive du plus petit intervalle. Mais la limite perceptive dépend du contexte : de la forme perceptive audible précise, distincte, ambigue, floue ou impossible (Cf. la hauteur un problème d'élévation).

 

représentation graphique des 15 premières échelles divisant le ton sur l'ambitus d'un octave :
forme des échelles divisées du ton de 1 à 16

. On reconnait la forme particulière de l'outil divisionnaire.
. On divise d'abord 16 fois (on peut plus) puis on multiplie ensuite à chaque fois : ce qui donnera un scalage (striage du temps) 2D (d'abord en 2 dimensions). Le début d'une déambulation dans une toile (voire plusieurs) d'échelles connectées : l'amorce du scalar-system-field multidimensionnel.

Ce qui nous intéresse : remultiplier ces intervalles par les nombres entiers (1; 2; 3; 4; etc.) afin de trouver des divisions non symétriques pour découvrir d’autres échelles uniques bien qu'elles soient multiples des échelles divisant le ton et, s'extrayant des intervalles-gouffres tels que l'octave, la quinte ou la quarte. Le procédé exploratoire du connu vers l'inconnu.

représentation graphique des 15 divisions du ton et leurs projections :
amorce de projection des divisions du ton

Nous allons explorer les 8 échelles divisant le ton (de 1/16e de ton à 1/9e de ton) et découvrir leur projections nonoctaviantes.
Les échelles de 1/8e à 1/2 ton sont incluses dans les précédentes.

 

.

 

Commençons d'abord avec l'échelle de 1/16e de ton
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/16e DE TON
nommable aussi Z96 (à la suite de Pierre Barbaud qui nomma l'échelle chromatique de 12 tons Z12) :

1. multiples de 1/16e de ton

16√(6√2) = 96√2 = 21/96 = 1,0072464122237038980903435690978...

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 16) 1/16 pour obtenir ses 16 échelles multiples :
  nom rapport   quant. en cent propriété    
1 Echelle de 1/16e de ton (21/96)1 = 1,00725 <=> 12,5 cents symétrique octaviante = 96√2  
2 Echelle de 1/8e de ton (21/96)2 = 1,0145526 <=> 25 cents symétrique octaviante = 48√2  
3 Echelle de 3/16e de ton (21/96)3 = 1,02191 <=> 37,5 cents symétrique octaviante = 32√2 download .scl file
4 Echelle de 1/4 de ton (21/96)4 = 1,02932 <=> 50 cents symétrique octaviante = 24√2  
5 Echelle de 5/16e de ton (21/96)5 = 1,03678 <=> 65,5 cents symétrique nonoctaviante    
6 Echelle de 3/8e de ton (21/96)6 = 1,0443 <=> 75 cents symétrique octaviante = 16√2 download .scl file
7 Echelle de 7/16e de ton (21/96)7 = 1,05187 <=> 87,5 cents symétrique nonoctaviante    
8 Echelle de 1/2 de ton (21/96)8 = 1,05946 <=> 100 cents symétrique octaviante = 12√2  
9 Echelle de 9/16e de ton (21/96)9 = 1,06717 <=> 112,5 cents symétrique nonoctaviante    
10 Echelle de 5/8e de ton (21/96)10 = 1,07491 <=> 125 cents symétrique nonoctaviante    
11 Echelle de 11/16e de ton (21/96)11 = 1,08448 <=> 137,5 cents symétrique nonoctaviante    
12 Echelle de 3/4 de ton (21/96)12 = 1,09055 <=> 150 cents symétrique octaviante = 8√2 download .scl file
13 Echelle de 13/16e de ton (21/96)13 = 1,09846 <=> 162,5 cents symétrique nonoctaviante    
14 Echelle de 7/8e de ton (21/96)14 = 1,10642 <=> 175 cents symétrique nonoctaviante    
15 Echelle de 15/16e de ton (21/96)15 = 1,11445 <=> 187,5 cents symétrique nonoctaviante    
16 Echelle de ton (21/96)16 = 1,12253 <=> 200 cents symétrique octaviante = 6√2  

. remarque 1 :

L'échelle de ton <=> 21/6 = 1,12246 contre 1,12253 pour (21/96)16 montre la relativité de l’exactitude des chiffres.
pour l’échelle de ton mieux connue sous le nom de "gamme par ton" et attachée à Debussy. Cette échelle à la sonorité si particulière.

. remarque 2 :

Il n'y a pas d'échelle asymétrique nonoctaviante et d'échelle asymétrique octaviante dans les 16 "projections" multiples de Z96 ou les 16 échelles multiples de 1/16e de ton.

 

Graphe des 16+1 premières échelles multiples de 1/16e de ton :
schéma des échelles multiples de 1/16e de ton

. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 8 degrés.
. Toutes les échelles multiples de 1/16e de ton répètent un cycle d'un intervalle inclus dans Z12.
. Dans cette famille, l'échelle chromatique (Z12) et par ton (Z6) répètent un cycle de 8 degrés et non de 12 et 6.
. Ces échelles octotoniques, répétant un cycle de 8 degrés reconnaissent un centre de symétrie dans leurs divisions et sont donc toutes symétriques.

. Des 16 échelles multiplent de Z96 (de 1/16e de ton à 16/16e de ton) 8 sont octaviantes et 8 sont nonoctaviantes : égalité !

Nous avons 8 échelles premières nonoctaviantes multiples de l’échelle d’1/16e de ton :

telles que les échelles de :

nom quantification en cent rapport
5/16e de ton 62,5 cents (96√2)5 = 1,03678...
7/16e de ton 87,5 cents (96√2)7 = 1,05187...
9/16e de ton 112,5 cents (96√2)9 = 1,06717...
5/8e de ton 125 cents (96√2)10 = 1,07491...
11/16e de ton 137,5 cents (96√2)11 = 1,0827...
13/16e de ton 162,5 cents (96√2)13 = 1,09846...
7/8e de ton 175 cents (96√2)14 = 1,10642...
15/16e de ton 187,5 cents (96√2)15 = 1,11445...
17/16e de ton 212,5 cents (96√2)17 = 1,13066...
9/8e de ton 225 cents (96√2)18 = 1,13886...
19/16e de ton 237,5 cents (96√2)19 = 1,14712...

11 échelles cycliques symétriques nonoctaviantes multiples de l’échelle 1/16e de ton (12,5 cents) 96√2=1,00725.

Graphe des 8 premières échelles cycliques symétriques nonoctaviantes multiples de l'échelle de 1/16e de ton :
8 échelles non octaviantes multiples de 1/16e de ton

Même si la symétrie de l'octave par l'existence du triton (4te+) n'apparait pas, ces échelles divisent un cycle par un nombre pair et donc reconnaissent un centre de symétrie dans leurs divisions. Elles sont symétriques, car elles possèdent un degré central (le pli du miroir) où la demi-échelle miroir correspond à la demi-échelle projetée.

Propriétés de ces 8 échelles non octaviantes multiples de 1/16e de ton (12,5 cents ou 96√2=1,00725) :

1. L'échelle 5/16e de ton (62.5 cents) divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de septième mineur (2 . 4te) et octave+3ce mineure (3 . 4te), etc. : 5/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 19e degré, même si celui-ci est plus petit (1187,5 cents).
0: 1 unisson
1: 62,5 cents
2: 125 cents
3: 187,5 cents
4: 250 cents
5: 312,5 cents
6: 375 cents
7: 437,5 cents
8: 500 cents
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2. L'échelle 7/16e de ton (87.5 cents) divise l'intervalle de quinte (700 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+2de majeur (2 . 5te), etc. : 7/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 5te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 14e degré, même si celui-ci est plus grand (1225 cents).
0: 1 unisson
1: 87,5 cents
2: 175 cents
3: 262,5 cents
4: 350 cents
5: 437,5 cents
6: 525 cents
7: 612,5 cents
8: 700 cents
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3. L'échelle 9/16e de ton (112.5 cents) divise l'intervalle de sixte majeure (900 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+4te+ (2 . 6teM), etc. : 9/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6teM et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 11e degré, même si celui-ci est plus grand avec battement (1237,5 cents).
0: 1 unisson
1: 112,5 cents
2: 225 cents
3: 337,5 cents
4: 450 cents
5: 562,5 cents
6: 675 cents
7: 787,5 cents
8: 900 cents

9: 1012,5 cents
10: 1125 cents
11: 1237,5 cents
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4. L'échelle 5/8e de ton (125 cents) est inclus (et multiple par 2) dans l'échelle 5/16e de ton. 5/8e de ton divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 4 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de septième mineur 2 . 4te (1000 cents) et octave+3ce mineure 3 . 4te (1500 cents), etc. : 5/8e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 10e degré, même si celui-ci est plus grand (1250 cents contre 1200) d'1/4 de ton.
0: 1 unisson
1: 125 cents
2: 250 cents
3: 375 cents
4: 500 cents

5: 625 cents
6: 750 cents
7: 875 cents
8: 1000 cents
9: 1125 cents
10: 1250 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
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5. L'échelle 11/16e de ton (137.5 cents) divise l'intervalle de septième majeur (1100 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+septième mineur (2 . 7eM), etc. : 11/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 7eM et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 9e degré, même si celui-ci est plus grand avec battement (1237,5 cents).
0: 1 unisson
1: 137,5 cents
2: 275 cents
3: 412,5 cents
4: 550 cents [assimilation à la 4te]
5: 687,5 cents
6: 825 cents
7: 962,5 cents
8: 1100 cents

9: 1237,5 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
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6. L'échelle 13/16e de ton (162.5 cents) divise l'intervalle d'octave et seconde mineure (1300 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de deux octaves+seconde majeur, etc. : 13/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2dem et ses multiples. Aucune prégnance d'intervalles connus trop importante.
0: 1 unisson
1: 162,5 cents
2: 325 cents
3: 487,5 cents
4: 650 cents
5: 812,5 cents
6: 975 cents
7: 1137,5 cents
8: 1300 cents
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7. L'échelle 7/8e de ton (175 cents) est inclus (et multiple de 2) dans l'échelle 7/16e de ton. 7/8e de ton divise l'intervalle de quinte (700 cents) en 4 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+2de majeur (2 . 5te), etc. : 7/8e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 5te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 7e degré, même si celui-ci est plus grand (1225 cents) d'1/8e de ton.
0: 1 unisson
1: 175 cents
2: 350 cents
3: 525 cents
4: 700 cents [5te]

5: 875 cents
6: 1050 cents
7: 1225 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
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8. L'échelle 15/16e de ton (187.5 cents) divise l'intervalle d'octave et tierce mineur (1500 cents) en 8 intervalles équidistants. Aucune prégnance d'intervalles connus trop importante.
0: 1 unisson
1: 187,5 cents
2: 375 cents
3: 562,5 cents
4: 750 cents
5: 937,5 cents
6: 1125 cents
7: 1312,5 cents
8: 1500 cents
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9. L'échelle de 17/16e de ton (212,5 cents) divise l'intervalle doctave et quarte (1700 cents) en 8 intervalles équidistants. Prégnance au 9e degré proche de l'intervalle 8ve+5te.
0: 1 unison
1: 212,5 cents
2: 425 cents
3: 637,5 cents
4: 850 cents
5: 1062,5 cents
6: 1275 cents
7: 1487,5 cents
8: 1700 cents

9: 1912,5 cents [proche 8ve+5te : à + & - 1900 cents]

10. L'échelle de 9/8e de ton (225 cents) divise l'intervalle de sixte majeur (900 cents) en 4 intervalles équidistants. Prégnance unique au 7e degré avec 8ve+3ceM bien qu'il y ait une différence d'1/8e de ton.
0: 1 unison
1: 225 cents
2: 450 cents
3: 675 cents
4: 900 cents

5: 1125 cents
6: 1350 cents
7: 1575 cents [proche 8ve+3ceM : à + & - 1600 cents]

11. L'échelle de 19/16e de ton (237,5 cents) divise l'intervalle d'8ve+5te (1900 cents) en 8 intervalles équidistants. Prégance de l'octave au 5e degré bien qu'il y ait une différence d'1/16e de ton.
0: 1 unison
1: 237,5 cents
2: 475 cents
3: 712,5 cents
4: 950 cents
5: 1187,5 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
6: 1425 cents
7: 1662,5 cents
8: 1900 cents [8ve+5te]

 

Récapitulation :

rang nom en ton ambitus tonal (intervalle) divisé divisant par nonoctaviation au intervalle en cents nombre de degrés par 8ve désignation par densité
1 5/16e de ton 500 cents 4te 8 au 19e degré : 1187,5 contre 1200 cents 62,5 19,2 nanodécatonique nonoctaviante
2 7/16e de ton 700 cents 5te 8 au 14e degré : 1225 contre 1200 cents 87,5 13,714... tetradécatonique nonoctaviante
3 9/16e de ton 900 cents 6te M 8 au 11e degré : 1237,5 contre 1200 cents 112 10,714... hendécatonique nonoctaviante
4 5/8e de ton 500 cents 4te 4 au 10e degré : 1250 contre 1200 cents 125 9,6 décatonique nonoctaviante
5 11/16e de ton 1100 cents 7e M 8 au 9e degré : 1237,5 contre 1200 cents 137,5 8,72.. nonatonique nonoctaviante
6 13/16e de ton 1300 cents 8ve+2de m 8 au 7e degré : 1137,5 contre 1200 cents 162,5 7,384... heptatonique nonoctaviante
7 7/8e de ton 700 cents 5te 4 au 7e degré : 1225 contre 1200 cents 175 6,857... heptatonique nonoctaviante
8 15/16e de ton 1500 cents 8ve+3ce m 8 au 6e degré : 1125 contre 1200 cents 187,5 6,4 hexatonique nonoctaviante
9 17/16e de ton 1700 cents 8ve+4te 8 au 5e degré : 1275 contre 1200 cents 212,5 5,647... hexatonique nonoctaviante
10 9/8e de ton 900 cents 6te M 4 au 4e degré : 1125 contre 1200 cents 225 5,33.. pentatonique nonoctaviante
11 19/16e de ton 1900 cents 8ve+5te 8 au 5e degré : 1187,5 contre 1200 cents 237,5 5,0526... pentatonique nonoctaviante

 

Remarques :

. Les 8 premières échelles nonoctaviantes de l'ensemble Z96 (1/16e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles pairs par 8 ou 4. Le cycle est toujours un intervalle élément de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les intervalles « passages » sont la 4te, la 5te, la 6te M, la 7e m, la 7e M, l'8ve+2de m, l'8ve+2de M, l'8ve+3ce m, l'8ve+4te et l'8ve+5te. La prégnance de l'octave dans 7 échelles sur 11 reste forte (malgré la nonoctaviation numérique) : l'octave a une force d'attraction perceptive comparable à un trou noir qui aspire le perceptible et fait masque : les micro-intervalles satellitaires sont engloutis par sa présence (ou, nous donnons à l'octave une tolérence d'une marge d'1/2 ton : 1/4 au dessus et 1/4 en dessous). Nous verrons quoi faire plus tard avec les échelles 13/16e de ton (162.5 cents) et 15/16e de ton (187.5 cents).

. Pour 11 échelles nonoctaviantes de la famille Z96, il y a 7 nonoctaves telles que : { 1125 cents ; 1137,5 cents ; 1187,5 cents ; 1225 cents ; 1237,5 cents ; 1250 cents ; 1275 cents }.

. La famille nonoctaviante Z96 se caractérise par des cycles nonoctaviants de 4 et 8 horaires (3 échelles tétratoniques et 8 échelles octotoniques).

. Problème de conditionnement
Une révolution de cycle (l'intervalle divisé en horaires-notes) ne correspond pas à ce que l'on perçoit à l'écoute, par manque de conditionnement, l'échelle nonoctave inconnue est assimilée à une perception déjà conditionnée : la nonoctave est comprise comme une variation de l'octave et pas comme un autre cycle différent. Cette approximation assimilante déplace le cycle constructeur chiffré au cycle assimilé octave de la nonoctave. Les 11 échelles nonoctaves de Z96 au lieu d'être 3 tétratoniques et 8 octotoniques, sont perçues en : 2 pentatoniques, 2 hexatoniques, 2 heptatoniques, 1 nonatonique, 1 décatonique, 1 hendécatonique, 1 tetradécatonique et 1 nanodécatonique.

. Pour s'introduire dans le monde des sonorités nonoctaviantes, nous conseillons d'abord la pratique des pentatoniques nonoctaviantes. La gamme pentatonique de 5 tons est la plus simple et se retrouve sur toute la planète avec autant de variantes que de pratiques musicales. La densité du nombre de degrés de l'échelle, plus elle augmente, plus l'écoute se raffine et devient subtile, mais empêche un néophyte de comprendre le sens et la portée de la nonoctaviation.

 

.

Téléchargez la famille des 11 échelles nonoctaviantes de Z96 (zip .scl files 5Ko)
Download the Z96 family of 11 nonoctave scales (.zip .scl scala files 5Ko)

Téléchargez la famille des 11 échelles nonoctaviantes de Z96 (.zip tuning script for Kontakt sampler .nkp 20Ko)
Download the Z96 family of 11 nonoctave scales (.zip tuning script for Kontakt sampler .nkp 20Ko)

.

 

Notation des 11 nonoctaves Z96 (encours)

... [en attendant la publication, voir la page de notation (globe) de toutes les échelles possible]

 

-> voir PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE Modes de correspondances entre elles

 

.

 

Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/15 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/15e DE TON
nommable aussi Z90 :

2. multiples de 1/15e de ton

15√(6√2) = 90√2 = 21/90 = 1,007731369217151530104557933693

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 15) 1/15 pour obtenir ses 15 échelles multiples :
  nom rapport propriété  
1 Echelle de 1/15e de ton (21/90)1 = 1,00773 symétrique octaviante = 90√2
2 Echelle de 2/15e de ton (21/90)2 = 1,01552 asymétrique octaviante = 45√2
3 Echelle de 1/5e de ton (21/90)3 = 1,02337 symétrique octaviante = 30√2
4 Echelle de 4/15e de ton (21/90)4 = 1,031286 asymétrique nonoctaviante  
5 Echelle de 1/3 de ton (21/90)5 = 1,03926 symétrique octaviante = 18√2
6 Echelle de 2/5e de ton (21/90)6 = 1,04729 asymétrique octaviante = 15√2
7 Echelle de 7/15e de ton (21/90)7 = 1,05539 asymétrique nonoctaviante  
8 Echelle de 8/15e de ton (21/90)8 = 1,06355 asymétrique nonoctaviante  
9 Echelle de 3/5e de ton (21/90)9 = 1,07177 symétrique octaviante = 10√2
10 Echelle de 10/15e de ton (21/90)10 = 1,08006 asymétrique octaviante = 9√2
11 Echelle de 11/15e de ton (21/90)11 = 1,08841 asymétrique nonoctaviante  
12 Echelle de 4/5e de ton (21/90)12 = 1,09825 asymétrique nonoctaviante  
13 Echelle de 13/15e de ton (21/90)13 = 1,1053 asymétrique nonoctaviante  
14 Echelle de 14/15e de ton (21/90)14 = 1,11385 asymétrique nonoctaviante  
15 Echelle de ton (21/90)15 = 1,12246 symétrique octaviante = 6√2
16 Echelle de 16/15e de ton (21/90)16 = 1,13114 asymétrique non-octaviante  
17 Echelle de 17/15e de ton (21/90)17 = 1,13988 asymétrique non-octaviante  
18 Echelle de 6/5e de ton (21/90)18 = 1,148698 asymétrique octaviante = 5√2

. remarque : contrairement à Z96, Z90 possède des échelles asymétriques non-octaviantes et asymétriques octaviantes dans les possibilités de Z90, mais elle n'a pas d'échelle symétrique non-octaviante.
[rappel : une échelle symétrique est une échelle qui répète ses rapports par division binaire (paire)]

 

Graphe des 18 premières échelles multiples de 1/15e de ton :
graphe des 18 échelles multiples de 1/15e de ton

. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 5, 10 et 15 degrés sauf pour les trois échelles 1/3 de ton (= 18√2); 10/15e de ton (= 9√2); 1 ton (= 6√2).
. Toutes les échelles multiples de 1/15e de ton répètent un cycle d'un intervalle inclus dans Z12.
. Des 18 échelles quinzotoniques répétant un cycle de 15 degrés, 5 échelles reconnaissent un centre de symétrie dans leurs divisions de l'octave : 1/15e de ton (= 90√2), 1/5e de ton (= 30√2), 1/3 de ton (= 18√2), 3/5e de ton (= 10√2), 1 ton (= 6√2) qui divisent l'octave par un nombre pair.
. Des 17 échelles multiplent de Z90 (de 2/15e de ton à 6/5e de ton) 8 sont octaviantes et 9 sont nonoctaviantes.

Nous avons 9 échelles multiples de l’échelle d’1/15e de ton qui ne sont pas symétriques dans l’octave et même l’ignore : elles sont nonoctaviantes,

telles que les échelles de :

nom quantification en cent rapport
4/15e de ton 53,33.. cents (90√2)4 = 1,03128...
7/15e de ton 93,33.. cents (90√2)7 = 1,05538...
8/15e de ton 106,66.. cents (90√2)8 = 1,06354...
11/15e de ton 146,66.. cents (90√2)11 = 1,08839...
4/5e de ton 160 cents (90√2)12 = 1,09681...
13/15e de ton 173,33.. cents (90√2)13 = 1,10529...
14/15e de ton 186,66.. cents (90√2)14 = 1,11383...
16/15e de ton 213,33.. cents (90√2)16 = 1,13114...
17/15e de ton 226,66.. cents (90√2)17 = 1,13988...

(rappel : 12√2 = 1,05946)

9 premières échelles nonoctaviantes asymétriques et cycliques multiples de l’échelle 1/15 de ton (13,33.. cents) 90√2=1,00773 :
Graphe des 7 premières échelles asymétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/15e de ton :

7 echelles non octaviantes multiples de 1/15e de ton

La symétrie n'apparait que par l'existence d'une division paire. Ces 9 échelles divisent un cycle par un nombre impair 15 et donc ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans leur cycle.

Propriétés de ces 9 échelles nonoctaviantes multiples de 1/15e de ton (13,33.. cents) 90√2=1,00773 :

1. L'échelle de 4/15 de ton (53,33.. cents ou 1,03128) divise la 6te mineur (800 cents ou 1,58736) en 15 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de 8ve + 3ce majeur (2 . 6te m), (3 . 6te m), etc. : 4/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6te mineur et ses multiples : 15√1,58736 = 1,03128. Reste la prégnance de la quinte avec battement au 13e degré, même si celle-ci est plus petite (693,3 cents contre 700 cents). Reste la prégnance de l'octave avec battement au 22e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33.. cents contre 1200 cents), mais la nonoctave au 23e degré (1226,66.. cents contre 1200 cents) empêche la localisation exacte de l'octave. 1/4 de ton = 50 cents. Double octave exacte au 45e degré (2400 cents = 45 x 53,33.. cents). L'échelle de 4/15 de ton (53,33.. cents) est double octaviante.
00: 1 unisson
01: 53,33 cents
02: 106,66 cents
03: 160 cents
04: 213,33 cents
05: 266,66 cents
06: 320 cents
07: 373,33 cents
08: 426,66 cents
09: 480 cents
10: 533,33 cents
11: 586,66 cents
12: 640 cents
13: 693,33 cents [proche 5te : à + & - 700 cents]
14: 746,66 cents
15: 800 cents [6te mineur]
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2. L'échelle de 7/15e de ton (93,33.. cents ou 1,05538) divise l'octave + la seconde majeur (1400 cents ou 2,24483) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+2de M (2 . 8ve+2de M), (3 . 8ve+2de M), etc. : 7/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2deM et ses multiples : 15√2,24483 = 1,05539. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 13e degré, même si celle-ci est plus grande (1213.33 cents contre 1200 cents) et se répète tous les 13 degrés. (1/2 de ton = 100 cents).
00: 1 unisson
01: 93,33 cents
02: 186,66 cents
03: 280 cents
04: 373,33 cents
05: 466,66 cents
06: 560 cents
07: 653,33 cents
08: 746,66 cents
09: 840 cents
10: 933,33 cents
11: 1026,66 cents
12: 1120 cents
13: 1213,33 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
14: 1306,66 cents
15: 1400 cents [8ve+2deM]
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3. L'échelle de 8/15e de ton (106,66.. cents ou 1,06354) divise l'octave + 3ce majeur (1600 cents ou 2,51972) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+3ce M (2 . 8ve+3ce M), (3 . 8ve+3ce M), etc. : 8/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+3ceM et ses multiples : 15√2,51972 = 1,06355. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 11e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33 cents contre 1200 cents). (1/2 de ton = 100 cents).
00: 1 unisson
01: 106,66 cents
02: 213,33 cents
03: 320 cents
04: 426,66 cents
05: 533,33 cents
06: 640 cents
07: 746,66 cents
08: 853,33 cents
09: 960 cents
10: 1066,66 cents
11: 1173,33 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
12: 1280 cents
13: 1386,66 cents
14: 1493,33 cents
15: 1600 cents [8ve+3ceM]
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4. L'échelle de 11/15e de ton (146,66.. cents ou 1,08839) divise l'octave + 7e mineur (2200 cents ou 3,56337) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+7e m (2 . 8ve+7e m), (3 . 8ve+7e m), etc. : 11/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+7em et ses multiples : 15√3,56337 = 1,08841. Entre 9√2 et 8 √2. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 8e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33 cents contre 1200 cents). Ainsi que la prégnance de la quinte au 5e degré (733,33 contre 700 cents). Ainsi que la prégnance de l'8ve+5te au 13e degré (1906,66 contre 1900 cents).
00: 1 unisson
01: 146,66 cents
02: 293,33 cents
03: 440 cents
04: 586,66 cents
05: 733,33 cents [proche 5te : à + & - 700 cents]
06: 880 cents
07: 1026,66 cents
08: 1173,33 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
09: 1320 cents
10: 1466,66 cents
11: 1613,33 cents
12: 1760 cents
13: 1906,66 cents [trop proche 8ve+5te : à + & - 1900 cents]
14: 2053,33 cents
15: 2200 cents [8ve+7m]
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5. L'échelle de 4/5e de ton (160 cents ou 1,09681, est incluse dans l'échelle de 4/15 de ton) divise la 6te mineur (800 cents ou 1,58736) en 5 intervalles équidistants et répète l'intervalle de 6te m : (2 . 6te m), (3 . 6te m), etc. : 4/5e de ton est une échelle cyclique : 5√1,58736 = 1,09682. Double octave juste au 15e degré (2400 cents = 15 . 160). Au 10e degré 8ve+3M (1600 cents). Prégnance au 12e degré de l'8ve+5te (1920 cents contre 1900 cents). L'échelle de 4/5 de ton (160 cents) est double octaviante. Les 3 degrés 10, 12 et 15 forment l'accord tonal 3m+3M bien caractéristique.
0: 1 unisson
1: 160 cents
2: 320 cents
3: 480 cents
4: 640 cents
5: 800 cents [6te mineur]
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6. L'échelle de 13/15e de ton (173,33.. cents ou 1,10529) divise dbl8ve+2deM (2600 cents ou 4,48998) en 15 intervalles équidistants et répète l'intervalle de double octave + 2de majeur : (2 . (2 . 8ve+2deM)), (3 . (2 . 8ve+2deM)), (4 . (2 . 8ve+2deM)) : 13/15e de ton est une échelle cyclique : 15√4,48998 = 1,10531. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 7e degré, même si celle-ci est plus grande (1213,33 cents contre 1200 cents). Aussi la prégance de la 5te au 4e degré et 8ve+5te au 11e degré et double 8ve au 14e degré.
00: 1 unisson
01: 173,33 cents
02: 346,66 cents
03: 520 cents
04: 693,33 cents [trop proche 5te : à + & - 700 cents]
05: 866,66 cents
06: 1040 cents
07: 1213,33 cents [proche 8ve : à + & - 1200 cents]
08: 1386,66 cents
09: 1560 cents
10: 1733,33 cents
11: 1906,66 cents [trop proche 8ve+5te : à + & - 1900 cents]
12: 2080 cents
13: 2253,33 cents
14: 2426,66 cents [proche double 8ve : à + & - 2400 cents]
15: 2600 cents [2x8ve+2M]
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7. L'échelle de 14/15e de ton (186,66.. cents ou 1,11383) divise dbl8ve+3ceM (2800 cents ou 5,0383) en 15 intervalles équidistants et répète l'intervalle de double octave + 3ce majeur : (2 . (2 . 8ve+3ceM)), (3 . (2 . 8ve+3ceM)), (4 . (2 . 8ve+3ceM)) : 14/15e de ton est une échelle cyclique : 15√5,0383 = 1,11383. Prégnance de la double octave au 13e degré : l'échelle de 14/15 de ton (186,66.. cents) est quasi double octaviante.
00: 1 unisson
01: 186,66 cents
02: 373,33 cents
03: 560 cents
04: 746,66 cents
05: 933,33 cents
06: 1120 cents
07: 1306,66 cents
08: 1493,33 cents
09: 1680 cents
10: 1866,66 cents
11: 2053,33 cents
12: 2240 cents
13: 2426,66 cents [proche double 8ve : à + & - 2400 cents]
14: 2613,33 cents
15: 2800 cents [2x8ve+3M]
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8. L'échelle de 16/15e de ton (213,33.. cents ou 1,13114... = (90√2)16 divise 2x8ve+6te m (3200 cents) en 15. Prégance au 17e degré de la triple 8ve (3626,66.. contre 3600 cents). Les degrés 8 et 9 sont respectivement proches de l'8ve+4te et de l'8ve+5te. L'échelle de 16/15 de ton (213,33.. cents) est quasi triple octaviante.
0: 1 unison
1: 213,33 cents
2: 426,66 cents
3: 640 cents
4: 853,33 cents
5: 1066,66 cents
6: 1280 cents
7: 1493,33 cents
8: 1706,66 cents [proche 8ve+4te : à + & - 1700 cents]
9: 1920 cents [proche 8ve+5te : à + & - 1900 cents]
10: 2133,33 cents
11: 2346,66 cents
12: 2560 cents
13: 2773,33 cents
14: 2986,66 cents
15: 3200 cents [2x8ve+6m]

9. L'échelle de 17/15e de ton (226,66.. cents ou ) divise une dbl8ve+7e m (3400 cents) en 15. Prégance au 16e degré de la triple 8ve (3626,66.. contre 3600 cents). Et prégnance au 7e degré de l'8ve et 3ce majeure (1586,66 contre 1600 cents). L'échelle de 17/15 de ton (226,66.. cents) est quasi triple octaviante.
0: 1 unison
1: 226,66 cents
2: 453,33 cents
3: 680 cents
4: 906,66 cents
5: 1133,33 cents
6: 1360 cents
7: 1586,66 cents [proche 8ve+3M + & - 1600 cents]
8: 1813,33 cents
9: 2040 cents
10: 2266,667 cents
11: 2493,33 cents
12: 2720 cents
13: 2946,66 cents
14: 3173,33 cents
15: 3400 cents [2x8ve+7m}

 

Récapitulation :

rang nom en ton ambitus (intervalle) divisé divisant par nonoctave proche octave au intervalle en cents nombre de degrés par 8ve désignation par densité
1 4/15e de ton 800 cents 6te m 15 22e degré : 1173 contre 1200 53,33 cents 22,5 (45 degrés pour dbl 8ve) cycle de 22 tons
2 7/15e de ton 1400 cents 8ve+2de M 15 13e degré : 1213 contre 1200 cents 93,33 cents 12,85... tridécatonique
3 8/15e de ton 1600 cents 8ve+3ce M 15 11e degré : 1173 contre 1200 cents 106,66 cents 11,25 hendécatonique
4 11/15e de ton 2200 cents 8ve+7e m 15 8e degré : 1173 contre 1200 cents 146,66 cents 8,18.. octotonique
5 4/5e de ton 800 cents 6te m 5 15e degré : dbl 8ve 2400 cents 160 cents 7,5 (14 degrés pour dbl 8ve) tétradécatonique
6 13/15e de ton 2600 cents 2x8ve+2de M 15 7e degré : 1213 contre 1200 cents 173,33 cents 6,92... heptatonique
7 14/15e de ton 2800 cents 2x8ve+3ce M 15 6e degré : 1120 contre 1200 cents 186,66 cents 6,42... (quasi dbl 8ve) hexatonique
8 16/15e de ton 3200 cents 2x8ve+6te m 15 17e degré : 3626,66.. contre 3600 cents 213,33 cents 5,62... (quasi trpl 8ve) heptadécatonique
9 17/15e de ton 3400 cents 2x8ve+7e m 15 16e degré : 3626,66.. contre 3600 cents 226,66 cents 5,29... (quasi trpl 8ve) hexadecatonique

 

Remarques :

. Les 9 échelles nonoctaviantes de l'ensemble Z90 (1/15e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles impairs par 15 ou 5. Le cycle est toujours un intervalle élément de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les 8 intervalles « passages » sont la 6te mineur, l'8ve+2de M, l'8ve+3ce M, l'8ve+7e m, la double 8ve+2deM, la double 8ve+3ceM, la double 8ve+6te m, la double 8ve+7e m. La prégnance de l'octave dans 5 échelles sur 9 reste forte (malgré leur nonoctaviation numérique). Les échelles de 4/15e de ton et de 4/5e de ton rencontrent la double octave. Les échelles de 7/15e de ton et 8/15e de ton cernent l'échelle d' 1/2 ton. L'échelle de 4/15e de ton (53,33.. cents) taquine l'échelle d'1/4 de ton (50 cents). 6 échelles sur 9 "taquinent" une nonoctave de 1173 cents et 1213 cents.

. Pour 9 échelles nonoctaviantes de la famille Z90, il y a 3 nonoctaves telles que : { 1120 cents, 1173 cents ; 1213 cents }, 2 échelles double octaviante (2400 cents), une échelle quasi double octaviante (2426,66 cents au 13e degré) et 2 échelles quasi triple octaviante (3626,66 cents au 16e at 17e degré).

. La famille nonoctaviante Z90 se caractérise par des cycles nonoctaviants de 5 et 15 horaires (1 échelle pentatonique et 8 échelles pentadécatoniques).

. Les 2 échelles 11/15e (146,66 cents) et 13/15e de ton (173,33 cents) qui entourent l'échelle centrale de 4/5e de ton (160 cents) sont truffées de 5te et d'8ve ! 16/15 (213,33 cents) est incluse dans 8/15 (106,66 cents) qui est incluse dans 4/15 (53,33 cents) est en fait la même échelle dont la densité se raréfie une fois sur deux. Même chose pour 14/15 (186,66 cents) qui est incluse dans 7/15 (93,33 cents). Cela réduit la famille de 9 à 6, mais est-ce vraiment à réduire ?

. Problème de déconditionnement contextuel
Le choix du cycle (l'intervalle divisé en horaires-notes) se fait par la prégnance, en général un intervalle connu (d'où la pioche dans Z12). Le cycle reprend à l'intervalle connu. Mais une révolution de cycle ne correspond pas à ce que l'on perçoit à l'écoute, par manque de déconditionnement, l'échelle nonoctave inconnue est assimilée à une perception déjà conditionnée : la nonoctave est comprise comme une variation de l'octave et pas comme un autre cycle différent (même chose pour la quinte et la quarte). Elles sont augmentées et diminuées. Cette approximation assimilante déplace le cycle constructeur chiffré au cycle assimilé octave de la nonoctave : une large marge de tolérance qui perturbe la perception des fréquences proches mais différentes. Les 9 échelles nonoctaves de Z90 au lieu d'être 1 pentatonique et 8 pentadécatoniques, sont perçues comme : 1 hexadecatonique, 1 heptadécatonique, 1 hexatonique, 1 heptatonique, 1 tétradécatonique, 1 octotonique, 1 hendécatonique, 1 tridécatonique et 1 cycle de 22 tons. Tout en ne l'étant pas vraiment. Toute la subtilité de la nonoctaviation se trouve en partie ici : d'être ou de ne pas être ?

. « Plus la densité du nombre de degrés de l'échelle augmente, plus l'écoute se raffine et devient subtile » ici ne se vérifie pas, les échelles éloignées par l'écart semblent être plus proches par leurs dispositions (17/15 (226,66 cents), 16/15 (213,33 cents) avec 4/15 (53,33 cents)). L'échelle centrale 4/5 (160 cents) regroupe les autres qui lui sont périphériques. « Bizarre, bizarre, vous avez dit bizarre ? Comme c'est bizarre ».

. Peut-on dire que les 9 échelles nonoctaviantes de Z90 ne sont pas totalement nonoctaviantes, mais quasi nonoctaviantes ? C'est un champ que je n'avais pas prévu : la quasinonoctaviation !

.

Téléchargez la famille des 9 échelles nonoctaviantes de Z90 (zip .scl files 5Ko)
Download the Z90 family of 9 nonoctave scales (.zip .scl scala files 5Ko)

Téléchargez la famille des 9 échelles nonoctaviantes de Z90 (.zip tuning script for Kontakt sampler .nkp 17Ko)
Download the Z90 family of 9 nonoctave scales (.zip tuning script for Kontakt sampler .nkp 17Ko)

.

 

Notation des 9 nonoctaves Z90 (encours)

... [en attendant la publication, voir la page de notation (globe) de toutes les échelles possible]

 

-> voir PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE Modes de correspondances entre elles

 

 

PARENTHESE [ & anticipation :

Suitons les échelles non-octaviantes (mais cycliques) de Z96 et Z90 du plus petit au plus grand intervalle avant le ton, ceLA nous donne :

Suite des 15 échelles cycliques non-octaviantes de Z96 (1/16e de ton) et de Z90 (1/15e de ton) - (rappel 100 cents = 1/2 ton : 1.05946) :

nom quantification en cent rapports exemples musicaux  
01 4/15e de ton 53,33.. cents 1,03128 chopin 4/15 download .scl file
02 5/16e de ton 62,5 cents 1,03678 chopin 5/16 download .scl file
03 7/16e de ton 87,5 cents 1,05187 chopin 7/16 download .scl file
04 7/15e de ton 93,33.. cents 1,05538 chopin 7/15 download .scl file
05 8/15e de ton 106,66.. cents 1,06354 chopin 8/15 download .scl file
06 9/16e de ton 112,5 cents 1,06717 chopin 9/16 download .scl file
07 5/8e de ton 125 cents 1,07491 chopin 5/8 download .scl file
08 11/16e de ton 137,5 cents 1,0827 chopin 11/16 download .scl file
09 11/15e de ton 146,66.. cents 1,08839 chopin 11/15 download .scl file
10 4/5e de ton 160 cents 1,09681 chopin 4/5 download .scl file
11 13/16e de ton 162,5 cents 1,09846 chopin 13/16 download .scl file
12 13/15e de ton 173,33.. cents 1,10529 chopin 13/15 download .scl file
13 7/8e de ton 175 cents 1,10642 chopin 7/8 download .scl file
14 14/15e de ton 186,66.. cents 1,11383 chopin 14/15 download .scl file
15 15/16e de ton 187,5 cents 1,11445 chopin 15/16 download .scl file

Nous constatons que les 4 premières échelles sont microtonales et que les 11 autres sont macrotonales (nous nous sommes arrêtés avant le ton : 200 cents) montre que la frontière est arbitraire. Les échelles de 7/15e et de 8/15e cernent et sont proches de l'échelle de 1/2 ton mais ne reproduit pas ses proportions (sa sonorité). Afin de rendre ces échelles à une perception plus concrète, nous nous sommes amusés à interpréter ces échelles avec une musique bien connue de tous de Frédérique Chopin : sa Valse op 64 n°2 déclinée dans toutes ces échelles (écoutez les exemples ci-dessus dans le tableau ou téléchargez le tout dans le conteneur 45Mo.zip). Les échelles sont construites sur l'origine du do3 médian à 261.63Hz accordées au diapason la3 à 440Hz.

Disponibles aussi à l'écoute, 4 récentes (2010) interprétations de « 3 Ephémérôdes partis du Milieu de la bombe » pour trois pianos, écrit à Rio de Janeiro en 2000 pour le trio du pianiste Waldemar Reis. Les quatre interprétations proposent ici : 1. un accord pour les trois pianos en 8/15e de ton, 2. un accord pour chacun de 4/15e de ton, 7/15e de ton et 11/15e de ton en deux interprétations : l'une résonnante et l'autre pas, et 3. un accord pour chacun de 1/2 ton, 9/16e de ton et 8/15e de ton. Téléchargez le tout dans un conteneur 122Mo.zip.

FIN DE LA PARENTHESE ]

 

.

 

Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/14 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/14e DE TON
nommable aussi Z84 :

3. multiples de 1/14e de ton

14√(6√2) = 84√2 = 21/84 = 1,0082858916953740285765551729555

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 14) par 1/14 pour obtenir ses 17 échelles multiples :
nom formule   rapport*   quant. en cents propriété   remarques
Echelle de 1/14e de ton (84√2)1 = 1,00829 <=> 14,2857... symétrique octaviante = 84√2 1,0082858916953740285765551729555 **
Echelle de 1/7e de ton (84√2)2 = 1,01665 <=> 28,5714... symétrique octaviante = 42√2 1,0166404393919355254466878281669
Echelle de 3/14e de ton (84√2)3 = 1,02508 <=> 42,8571... symétrique octaviante = 28√2 1,0250642119658745674433761912354
Echelle de 2/7e de ton (84√2)4 = 1,03357 <=> 57,1428... symétrique octaviante = 21√2 1,0335577830070277304532462255542
Echelle de 5/14e de ton (84√2)5 = 1,04214 <=> 71,4285... asymétrique nonoctaviante   1,0421217308579348537980091159494
Echelle de 3/7e de ton (84√2)6 = 1,05078 <=> 85,7142... symétrique octaviante = 14√2 1,0507566386532194247355350853237
Echelle de 1/2e de ton (84√2)7 = 1,05949 <=> 100 cents symétrique octaviante = 12√2 = 1,05946 <=> 1/2 ton
Echelle de 4/7e de ton (84√2)8 = 1,06828 <=> 114,2857... asymétrique nonoctaviante   1,0682416908144022200136068970692
Echelle de 9/14e de ton (84√2)9 = 1,07713 <=> 128,5714... asymétrique nonoctaviante   1,0770930257689735860738394072839
Echelle de 5/7e de ton (84√2)10 = 1,08606 <=> 142,857... asymétrique nonoctaviante   1,0860177019263380088706088742993
Echelle de 11/14e de ton (84√2)11 = 1,09507 <=> 157,1428... asymétrique nonoctaviante   1,09501632698375864013523791702
Echelle de 6/7e de ton (84√2)12 = 1,10414 <=> 171,4285... symétrique octaviante = 7√2 1,1040895136738123376495053876233
Echelle de 13/14e de ton (84√2)13 = 1,1133 <=> 185,714285... asymétrique nonoctaviante   1,113237879806111729266212869331
Echelle de ton (84√2)14 = 1,12253 <=> 200 cents symétrique octaviante = 6√2 6√2 = 1,12246 ou 1,1224620483093729814335330496792
Echelle de 15/14e de ton (84√2)15 = 1,13183 <=> 214,2857... asymétrique nonoctaviante    
Echelle de 8/7e de ton (84√2)16 = 1,14121 <=> 228,5714... asymétrique nonoctaviante    
Echelle de 17/14e de ton (84√2)17 = 1,15068 <=> 242,8571... asymétrique nonoctaviante    

* calculé avec une calculette de poche
** calculé avec un ordinateur 32 bit

remarques :
. la division paire du ton retrouve toujours l'échelle de 1/2 ton au milieu <=> 12√2 = 1,0594630943592952645618252949463 et une symétrie des échelles nonoctaviantes.

 

Parenthèse + Attention [
Nous ne faisons pas cette exploration d'échelles afin d'enquiquiner les élèves des conservatoires de musique à jouer des gammes avec leur instrument de musique : comme si jouer des gammes permettait d'améliorer sa technique instrumentale ! Et ça agace tellement son entourage... Autant jouer des petites combinaisons (de la musique) pour se familiariser avec ces échelles où improviser dans celles-ci, etc. ]

 

Graphe des 14 premières échelles multiples de 1/14e de ton :
14 échelles multiples de 1/14e de ton

. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 7 degrés.
. Toutes les échelles multiples de 1/14e de ton répètent un cycle d'un intervalle de Z12
. Nous avons 6 échelles multiples de l’échelle d’1/14e de ton qui ignorent l’octave : non-octaviantes
. Des 17 échelles multiplent de Z84 (de 1/14e de ton à 17/14e de ton) 8 sont octaviantes et 9 sont nonoctaviantes.

ne sont pas symétriques dans et même l’

telles que les échelles de :

nom quantification en cent rapport
5/14e de ton 71,428571428571428571428571428571 cents (84√2)5 = 1,04214...
4/7e de ton 114,28571428571428571428571428571 cents (84√2)8 = 1,06828...
9/14e de ton 128,57142857142857142857142857143 cents (84√2)9 = 1,07713...
5/7e de ton 142,85714285714285714285714285714 cents (84√2)10 = 1,08606...
11/14e de ton 157,14285714285714285714285714286 cents (84√2)11 = 1,09507...
13/14e de ton 185,71428571428571428571428571429 cents (84√2)13 = 1,1133...
15/14e de ton 214,2857... cents (84√2)15= 1,13183
8/7e de ton 228,5714... cents (84√2)16 = 1,14121
17/14e de ton 242,8571... cents (84√2)17 = 1,15068

 

parenthèse [
A
nticipation : nous constatons que pour chaque série d'échelles nous avons :
8 échelles nonoctaviantes multiples de 1/16e de ton
7 échelles nonoctaviantes multiples de 1/15e de ton
6 échelles nonoctaviantes multiples de 1/14e de ton
Donc les prochaines seront au nombre de :
5 échelles nonoctaviantes multiples de 1/13e de ton en fait 8 non 7
4 échelles nonoctaviantes multiples de 1/12e de ton
3 échelles nonoctaviantes multiples de 1/11e de ton
2 échelles nonoctaviantes multiples de 1/10e de ton
1 échelles nonoctaviantes multiples de 1/9e de ton
ce qui nous donne 36 (non) échelles nonoctaviantes multiples jusqu'à 1/16e de ton = fausse Anticipation ]

 

9 échelles nonoctaviantes asymétriques et cycliques multiples de l’échelle 1/14e de ton (14,28... cents) 84√2=1,00829 :

Graphe des 6 premières échelles asymétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/14e de ton :
schéma des 6 échelles non-octaviantes multiples de 1/14e de ton

En considérant ces échelles heptatoniques, répétant un cycle de 7 degrés, elles ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans leurs divisions. Elles sont asymétriques car elles ne possèdent pas un degrés central où l'image miroir correspond à l'image projetée. L'asymétrie apparait par l'effacement d'une division pair de 14 degrés pour 7 degrés. Ces 9 échelles divisent un cycle par un nombre impair 7 et donc ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans son cycle. Elles sont toutes asymétriques.

Propriétés de ces 6 échelles non octaviantes multiples de 1/14e de ton (14,28... cents) 84√2=1,00829 :

1. L'échelle 5/14e de ton (71,428 cents) divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : septième mineur (2 x 4te) et octave+3ce mineure (3 x 4te), etc. : 5/14e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Sensation d'octave au 17e degré bien qu'il soit plus grand : 1214,293 cents (contre 1200) en plus de la quarte au 7e degré.
0: 1
1: 71,429 cents
2: 142,857 cents
3: 214,286 cents
4: 285,714 cents
5: 357,143 cents
6: 428,571 cents
7: 500 cents
...
10: 714,286 cents [proche 5te : à + 14,286 cents pour 700 cents]
...
17: 1214,286 cents [proche 8ve : à + 14,286 cents pour 1200 cents]
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp

2. L'échelle de 4/7e de ton (114,2857... cents) divise l'intervalle de 6te mineur (800 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave+3ce majeure (2 x 6te m), etc. Sensation de quinte au 6e degré bien qu'il soit plus petit : 685,714 cents (contre 700 cents) en plus de la sixte mineur au 7e degré.
0: 1
1: 114,286 cents
2: 228,571 cents
3: 342,857 cents
4: 457,143 cents
5: 571,429 cents
6: 685,714 cents [proche 5te : à + & - 700 cents]
7: 800 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp

3. L'échelle de 9/14e de ton (128,57... cents) divise l'intervalle de 6te majeur (900 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave+triton (2 x 6te M), etc. Aucun degré qui puisse vraiment l'arrêter... Tout est entre Z12 bien que le 3e degré soit proche d'une 3ce majeure 385 cents contre 400.
0: 1
1: 128,571 cents
2: 257,143 cents
3: 385,714 cents
4: 514,286 cents
5: 642,857 cents
6: 771,429 cents
7: 900 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl
. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp

4. L'échelle de 5/7e de ton (142,857... cents) divise l'intervalle de 7e mineur (1000 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : Aucun degré qui puisse vraiment l'arrêter... Tout est entre Z12.
0: 1
1: 142,857 cents
2: 285,714 cents
3: 428,571 cents
4: 571,429 cents
5: 714,286 cents [proche 5te : à + 14,286 pour 700 cents]
6: 857,143 cents
7: 1000 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp

5. L'échelle de 11/14e de ton (157,142857... cents) divise l'intervalle de 7e majeur (1100 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave+7e m (2 x 7e M), etc. Aucun degré qui puisse vraiment l'arrêter... Tout est entre Z12 bien que le 12e degré à 1885,716 cents soit proche d'un octave (1200 cents) + quinte (700 cents) = 1900 cents et que le 23e degré à 3614,289 cents soit proche du triple octave = 3600 cents.
0: 1
1: 157,143 cents
2: 314,286 cents
3: 471,429 cents
4: 628,571 cents
5: 785,714 cents
6: 942,857 cents
7: 1100 cents
...
12: 1885.714 [proche 8ve+5te : à - 14,286 pour 1900 cents]
...
23: 3614.286 [proche trpl 8ve : à + 14,286 pour 3600 cents]
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp

6. L'échelle de 13/14e de ton (185,7142857... cents) divise l'intervalle d'octave + 2de mineur (1300 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : double 8ve + 2de m (2600 cents), triple 8ve + 3ce m (3900 cents), etc. Au 13e degré on rencontre une double octave un peu haute à 2414,282 cents contre 2400 cents.
0: 1
1: 185.714 cents
2: 371.429 cents
3: 557.143 cents
4: 742.857 cents
5: 928.571 cents
6: 1114.286 cents
7: 1300 cents
...
13: 2414.286 cents [proche dbl 8ve : à + & - 2400 cents]
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp

7. L'échelle de 15/14e de ton (214,2857... cents) divise l'intervalle d'octave + 3ce mineur (1500 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que :
0: 1
1: 214.286 cents
2: 428.571 cents
3: 642.857 cents
4: 857.143 cents
5: 1071.429 cents
6: 1285.714 cents
7: 1500.000 cents
variante d'hexatonique = gamme par ton nonocraviante

8. L'échelle de 8/7e de ton (228,5714... cents) divise l'intervalle d'octave + 3ce majeur (1600 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que :
0: 1
1: 228.571 cents
2: 457.143 cents
3: 685.714 cents [proche 5te : à + & - 700 cents]
4: 914.286 cents
5: 1142.857 cents
6: 1371.429 cents
7: 1600.000 cents
(38 notes couvrent l'ambitus du piano)

9. L'échelle de 17/14e de ton (242,8571...cents) divise l'intervalle d'octave + 4te (1700 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que :
0: 1
1: 242.857 cents
2: 485.714 cents
3: 728.571 cents
4: 971.429 cents
5: 1214.286 cents [proche 8ve : à + 14,286 cents pour 1200 cents]
6: 1457.143 cents
7: 1700.000 cents
(35 notes couvrent l'ambitus du piano) variante de pentatonique

 

nom ambitus (intervalle) divisé division par nonoctaviation
1 5/14e de ton 500 cents 4te 7 au 17e degré : 1214 contre 1200 cents
2 4/7e de ton 800 cents 6te m 7  
3 9/14e de ton 900 cents 6te M 7  
4 5/7e de ton 1000 cents 7e m 7  
5 11/14e de ton 1100 cents 7e M 7 Trpl 8ve au 23e degré : 3614 contre 3600 cents
6 13/14e de ton 1300 cents 8ve+2de m 7 Dbl 8ve au 13e degré : 2414 contre 2400 cents
7 15/14e de ton 1500 cents 8ve+3ce m 7  
8 8/7e de ton 1600 cents 8ve+3ce M 7  
9 17/14e de ton 1700 cents 8ve+4te 7  

 

Remarques :
Les 9 échelles nonoctaviantes de l'ensemble Z84 (1/14e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle-ambitus en nombre d'intervalles impairs par 7. Les cycles sont des intervalles éléments de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les 9 intervalles « passages » sont la 4te, la 6te mineur, la 6te majeur, la 7e mineur, la 7e majeur, l'8ve+2de mineur, l'8ve+3ce mineur, l'8ve+3ce majeur, l'8ve+4te. La prégnance de l'octave dans 4 dont 2 échelles sur 9 reste présente malgré leur nonoctaviation numérique. L'échelle de 5/14e de ton rencontre l'octave au 17e degré et une 5te au 10e degré, l'échelle de 13/14e de ton rencontre la double octave au 13e degré, l'échelle de 11/14e de ton rencontre une triple octave au 23e degré et une octave + quinte au 12e degré, l'échelle de 4/7e de ton rencontre une quinte au 6e degré, l'échelle de 17/14e de ton rencontre l'octave au 5e degré.

 

-> voir PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE Modes de correspondances entre elles

.

Téléchargez la famille des 9 échelles nonoctaviantes de Z84 (zip .scl files 5Ko)
Download the Z84 family of 9 nonoctave scales (.zip .scl scala files 5Ko)

Téléchargez la famille des 9 échelles nonoctaviantes de Z84 (.zip tuning script for Kontakt sampler .nkp 17Ko)
Download the Z84 family of 9 nonoctave scales (.zip tuning script for Kontakt sampler .nkp 17Ko)

.

Notation des 9 nonoctaves Z84 (en cours)

... [en attendant la publication, voir la page de notation (globe) de toutes les échelles possible]

 

...

.

 

Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/13 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/13e DE TON
nommable aussi Z78 :

4. multiples de 1/13e de ton

13√(6√2) = 78√2 = 21/78 = 1,0089261044979412419235679603889...

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 13) 1/13 pour obtenir ses 13 échelles multiples :
  nom rapport propriété  
1 Echelle de 1/13e de ton (21/78)1 = 1,00892... symétrique octaviante = 78√2
2 Echelle de 2/13e de ton (21/78)2 = 1,01793... asymétrique octaviante = 49√2
3 Echelle de 3/13e de ton (21/78)3 = 1,02701... symétrique octaviante = 26√2
4 Echelle de 4/13e de ton (21/78)4 = 1,03618... asymétrique nonoctaviante  
5 Echelle de 5/13e de ton (21/78)5 = 1,04543... asymétrique nonoctaviante  
6 Echelle de 6/13e de ton (21/78)6 = 1,05476... asymétrique octaviante = 13√2
7 Echelle de 7/13e de ton (21/78)7 = 1,06418... asymétrique nonoctaviante  
8 Echelle de 8/13e de ton (21/78)8 = 1,07368... asymétrique nonoctaviante  
9 Echelle de 9/13e de ton (21/78)9 = 1,08326... asymétrique nonoctaviante  
10 Echelle de 10/13e de ton (21/78)10 = 1,09293... asymétrique nonoctaviante  
11 Echelle de 11/13e de ton (21/78)11 = 1,10268... asymétrique nonoctaviante  
12 Echelle de 12/13e de ton (21/78)12 = 1,11253... asymétrique double-octaviante  
13 Echelle de ton (21/78)13 = 1,12246... symétrique octaviante = 6√2
             
14 Echelle de 14/13e de ton (21/78)14 = 1,13248... asymétrique non-octaviante  
15 Echelle de 15/13e de ton (21/78)15 = 1,14258... asymétrique non-octaviante  
16 Echelle de 16/13e de ton (21/78)16 = 1,15278... asymétrique non-octaviante  
17 Echelle de 17/13e de ton (21/78)17 = 1,16307... asymétrique non-octaviante  
18 Echelle de 18/13e de ton (21/78)18 = 1,17346... asymétrique non-octaviante  

Remarque :
. Dans ce tableau Z78 possède 12 échelles asymétriques nonoctaviantes (8 jusqu'au ton), 2 échelles asymétriques octaviantes, 3 échelles symétriques octaviantes et aucune échelle symétrique nonoctaviante.

Graphe des 17 premières échelles multiples de 1/13e de ton :
17 premières échelles multiples de 1/13e de ton

. Nous avions anticipé 5 échelles nonoctaviantes multiples de 1/13e de ton dont l'intervalle est inférieur au ton, nous nous sommes trompés : il y en a 8.
13 est un nombre premier (qui ne se divise que par 1 ou par lui-même).
. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 13 degrés.
. Toutes les échelles multiples de 1/13e de ton (Z78) répètent un cycle d'un intervalle inclus dans Z12.
. Des 13 échelles multiplent de Z78 (de 1/13e de ton à 13/13e de ton) 5 sont octaviantes et 8 sont nonoctaviantes : inégalité !

Nous avons 8 premières échelles multiples de l’échelle d’1/13e de ton qui ignorent l’octave : non octaviantes 

telles que les échelles de :

nom quantification en cent rapport
4/13e de ton 61,5384... cents (78√2)4 = 1,03618...
5/13e de ton 76,923... cents (78√2)5 = 1,04543...
7/13e de ton 107,6923... cents (78√2)7 = 1,06418...
8/13e de ton 123,0769... cents (78√2)8 = 1,07368...
9/13e de ton 138,4615... cents (78√2)9 = 1,08326...
10/13e de ton 153,846... cents (78√2)10 = 1,09293...
11/13e de ton 169,2307 cents (78√2)11 = 1,10268...
12/13e de ton 184,6153... cents (78√2)12 = 1,11253...
et        
14/13e de ton 215,3846... cents (78√2)14 = 1,13248...
15/13e de ton 230,76923... cents (78√2)15 = 1,14258...
16/13e de ton 246,1538... cents (78√2)16 = 1,15278...
17/13e de ton 261,5384... cents (78√2)17 = 1,16307...

8 échelles cycliques asymétriques nonoctaviantes et multiples de l’échelle 1/13e de ton (15,384615384615384615384615384615 cents) 78√2=1,0089261 aux intervalles inférieurs au ton et 4 supérieurs au ton.

Graphe des 8 + 4 premières échelles asymétriques nonoctaviantes multiples de l'échelle de 1/13e de ton :
8+4 échelles non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/13e de ton

En considérant ces échelles treizotoniques, répétant un cycle de 13 degrés, elles ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans leurs divisions. Elles sont asymétriques. Elles ne possèdent pas un degrés central où l'image miroir correspond à l'image projetée. Ces 8 + 4 échelles divisent un cycle par un nombre impair et premier 13 et donc ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans son cycle.

Propriétés de ces 8 échelles non octaviantes multiples de 1/13e de ton (15,3846... cents) 78√2 = 1,00892... :

1. L'échelle 4/13e de ton (61,5384... cents) divise l'intervalle de 6te mineure (800 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : sixte mineur, octave + 3ce majeure (2 x 6te m), etc. : 4/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6te m et ses multiples. Le 8e degrés s'assimile à une quarte bien qu'il soit plus bas de 8 cents (492,308 cents contre 500 cents) et le 19e degrés s'assimile à l'octave bien qu'il sonne plus bas de 30 cents (1169,23 cents contre 1200 cents).
00: 0
01: 61,538 cents
02: 123,077 cents
03: 184,615 cents
04: 246,154 cents
05: 307,692 cents
06: 369,231 cents
07: 430,769 cents
08: 492,308 cents
09: 553,846 cents
10: 615,385 cents
11: 676,923 cents
12: 738,462 cents
13: 800 cents
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2. L'échelle 5/13e de ton (76,923 cents) divise l'intervalle de 7e mineur (1000 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 7e mineur, octave + 6te mineur (2 x 7e m), etc. : 5/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 7e m et ses multiples. Le 4e degré s'assimile à la 3ce mineure (307,7 cents contre 300 cents). Le 9e degrés s'assimile à la quinte bien qu'il soit plus bas de 8 cents (692,308 cents contre 700 cents) et le 16e degrés s'assimile à l'octave bien qu'il sonne plus haut de 30 cents (1230,77 cents contre 1200 cents).
00: 0
01: 76,923 cents
02: 153,846 cents
03: 230,769 cents
04: 307,692 cents
05: 384,615 cents
06: 461,538 cents
07: 538,462 cents
08: 615,385 cents
09: 692,308 cents
10: 769,231 cents
11: 846,154 cents
12: 923,077 cents
13: 1000 cents
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Ici, il est intéressant de comparer l'échelle de 5/13e de ton de 76,923 cents à une échelle proche qui divise l'octave en 16 intervalles égaux de 75 cents :

rang 5/13e de ton 8ve div 16 différence
01 76,923 75 1,923
02 153,846 150 3,846
03 230,769 225 5,769
04 307,692 300 7,692
05 384,615 375 9,615
06 461,538 450 11,538
07 538,462 525 13,462
08 615,385 600 15,385
09 692,308 675 17,308
10 769,231 750 19,231
11 846,154 825 21,154
12 923,077 900 23,077
13 1000 975 25
14 1076,923 1050 26,923
15 1153,846 1125 28,846
16 1230,769 1200 30,769

3. L'échelle 7/13e de ton (107,7 cents) divise l'intervalle d'8ve+2de majeur (1400 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+2deM (1400 cents), double octave+3ceM (2800 cents), etc. : 7/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2deM et ses multiples. 7/13e de ton (107,7 cents) est proche d'1/2 ton (100 cents), mais la sensation d'octave se fait au 11e degré à 1184,6 cents contre 1200 cents, une différence de 15,4 cents. Le 6e degré est intéressant comme un triton augmenté...
00: 0
01: 107,692 cents
02: 215,385 cents
03: 323,077 cents
04: 430,769 cents
05: 538,462 cents
06: 646,154 cents
07: 753,846 cents
08: 861,538 cents
09: 969,231 cents
10: 1076,923 cents
11: 1184,615 cents
12: 1292,308 cents
13: 1400 cents
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4. L'échelle 8/13e de ton (123,077 cents) divise l'intervalle d'8ve+3ce majeur (1600 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+3ceM (1600 cents), double octave+6tem (3200 cents), etc. : 8/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+3ceM et ses multiples. Le 4eme degré est proche de la quarte (492,308 cents contre 400 cents) et le dixième degré proche de l'octave bien qu'il soit plus grand (1230,77 contre 1200 cents) avec une différence de 30,77 cents.
00: 0
01: 123,077 cents
02: 246,154 cents
03: 369,231 cents
04: 492,308 cents
05: 615,385 cents
06: 738,462 cents
07: 861,538 cents
08: 984,615 cents
09: 1107,692 cents
10: 1230,769 cents
11: 1353,846 cents
12: 1476,923 cents
13: 1600 cents
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5. L'échelle de 9/13e de ton (138,4615... cents) divise l'intervalle d'8ve+4te augmentée ou quinte diminuée ou triton (1800 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve + 4te+ (1800 cents), triple octave (3600 cents), quadruple octave + 4te+ (5400 cents) etc. : 9/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve + 4te+ et ses multiples. Le 5eme degré est proche de la quinte (692,308 cents contre 700 cents).
00: 0 unison
01: 138,462 cents
02: 276,923 cents
03: 415,385 cents
04: 553,846 cents
05: 692,308 cents
06: 830,769 cents
07: 969,231 cents
08: 1107,692 cents
09: 1246,154 cents
10: 1384,615 cents
11: 1523,077 cents
12: 1661,538 cents
13: 1800 cents
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6. L'échelle de 10/13e de ton (153,846... cents) divise l'intervalle d'8ve+6te mineur (2000 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+6te majeur (2000 cents), triple octave + 3ce M (4000 cents), etc. : 10/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve+6teM et ses multiples. Le second degré est proche de la tierce mineure (307,692 cents contre 300 cents), le quatrième degré est proche de la quarte augmentée (615,385 cents contre 600 cents). Il est intéressant de noter la présence de l'octave au 8eme degré, mais résolument faux où il peut garder sa fonction tout en n'étant pas à sa place.
00: 0 unison
01: 153,846 cents
02: 307,692 cents
03: 461,538 cents
04: 615,385 cents
05: 769,231 cents
06: 923,077 cents
07: 1076,923 cents
08: 1230,769 cents
09: 1384,615 cents
10: 1538,462 cents
11: 1692,308 cents
12: 1846,154 cents
13: 2000 cents
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Ici, il est intéressant de comparer l'échelle de 20/13e de ton de 307,692 cents à l'échelle de tierce mineur qui divise l'octave en 4 intervalles égaux de 300 cents :

rang 20/13e de ton tierce mineure différence
01 307,692 300 7,692
02 615,385 600 15,385
03 923,077 900 23,077
04 1230,769 1200 30,769
05 1538,46 1500 38,46
06 1846,152 1800 46,152
07 2153,844 2100 53,844
08 2461,536 2400 61,536

7. L'échelle de 11/13e de ton (169,2307cents) divise l'intervalle d'8ve+7e mineur (2200 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+7e m (2200 cents), triple 8ve + 6te m (4400 cents), etc. : 11/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve+7e m et ses multiples. Malgré que le 3e degré soit proche de la quarte (507,692 cents contre 500 cents) et que le 6e degré soit proche de la 7e mineur (1015,385 cents contre 1000 cents), cette échelle semble offrir la sensation d'une échelle heptatonique (7) divisant l'octave (1184,615 cents contre 1200 cents).
00: 0 unison
01: 169,231 cents
02: 338,462 cents
03: 507,692 cents
04: 676,923 cents
05: 846,154 cents
06: 1015,385 cents
07: 1184,615 cents
08: 1353,846 cents
09: 1523,077 cents
10: 1692,308 cents
11: 1861,538 cents
12: 2030,769 cents
13: 2200 cents
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Ici, il est intéressant de comparer l'échelle de 11/13e de ton de 307,692 cents au mode majeur qui divise l'octave en 7 intervalles inégaux :

degré 11/13e de ton mode Majeur différence
01 169,231 200 30,769
02 338,462 400 61,538
03 507,692 500 7,692
04 676,923 700 23,077
05 846,154 900 53,846
06 1015,385 1100 84,615
07 1184,615 1200 15,385

pour mémoire 1/4 de ton <=> 50 cents et 1/8e de ton <=> 25 cents

8. L'échelle de 12/13e de ton (184,6153... cents) divise l'intervalle de double 8ve (2400) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que la double octave (4), la quadruple octave (8) et l'octuple octave (16). 12/13e de ton est une échelle (double) octaviante. Mais je suis curieux de savoir comment elle sonne.
00° : 0 unison
01° : 184.615 cents
02° : 369.231 cents
03° : 553.846 cents
04° : 738.462 cents
05° : 923.077 cents
06° : 1107.692 cents
07° : 1292.308 cents
08° : 1476.923 cents
09° : 1661.538 cents
10° : 1846.154 cents
11° : 2030.769 cents
12° : 2215.385 cents
13° : 2400.000 cents
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Récapitulation :
rang nom ambitus (intervalle) divisé division par nonoctaviation
1 4/13e de ton 800 cents 6te m 13 au 19e degré : 1169 contre 1200 cents
2 5/13e de ton 1000 cents 7e m 13 au 16e degré : 1230 contre 1200 cents
3 7/13e de ton 1400 cents 8ve+2deM 13 au 11e degré : 1184 contre 1200 cents
4 8/13e de ton 1600 cents 8ve+3ce M 13 au 10e degré : 1230 contre 1200 cents
5 9/13e de ton 1800 cents 8ve+4te+ 13 au 9e degré : 1246,154 contre 1200 cents
6 10/13e de ton 2000 cents 8ve+6te M 13 au 8e degré : 1230,769 contre 1200 cents
7 11/13e de ton 2200 cents 8ve+7e m 13 au 7e degré : 1184 contre 1200 cents
8 12/13e de ton 2400 cents Dbl 8ve 13 au 6e degré : 1107,692 contre 1200 cents
ou au 7e degré : 1292,308 contre 1200 cents
               
               
               

 

Remarques :
Les 7 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z78 (1/13e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles impairs par 13. Les cycles sont tous des intervalles éléments de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les 7 intervalles tempérés « passages » sont la 6te mineur, la 7e mineur, l'8ve + 2de majeur, l'8ve + 3ce majeur, l'8ve + 4te augmentée, l'8ve + 6te majeur et l'8ve + 7e mineur. La prégnance de l'octave dans 5 échelles sur 7 reste importante  malgré leur non-octaviation numérique et une division première. L'échelle de 4/13e de ton rencontre une octave au 19e degré, l'échelle de 5/13e de ton rencontre une octave au 16e degré, l'échelle de 7/13e de ton rencontre une octave au 11e degré, l'échelle de 8/13e de ton rencontre une octave au 10e degré, l'échelle de 11/13e de ton rencontre une octave au 7e degré.

 

-> voir PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE Modes de correspondances entre elles

 

.

 

 

Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/12 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/12e DE TON
nommable aussi Z72 :

5. multiples de 1/12e de ton

12√(6√2) = 72√2 = 21/72 = 1,0096735332285108621925214011186

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 12) 1/12 pour obtenir ses 12 échelles multiples :
  nom rapport propriété  
1 Echelle de 1/12e de ton (21/72)1 = 1,00967... symétrique octaviante = 72√2
2 Echelle de 1/6e de ton (21/72)2 = 1,01943... symétrique octaviante = 36√2
3 Echelle de 1/4e de ton (21/72)3 = 1,02929... symétrique octaviante = 24√2
4 Echelle de 1/3e de ton (21/72)4 = 1,03924... symétrique octaviante = 18√2
5 Echelle de 5/12e de ton (21/72)5 = 1,04929... asymétrique nonoctaviante  
6 Echelle de 1/2 ton (21/72)6 = 1,05944... symétrique octaviante = 12√2
7 Echelle de 7/12e de ton (21/72)7 = 1,06969... asymétrique nonoctaviante  
8 Echelle de 2/3 de ton (21/72)8 = 1,08003... asymétrique octaviante = 9√2
9 Echelle de 3/4 de ton (21/72)9 = 1,09047... symétrique octaviante = 8√2
10 Echelle de 5/6e de ton (21/72)10 = 1,10102... asymétrique nonoctaviante  
11 Echelle de 11/12e de ton (21/72)11 = 1,11167... asymétrique nonoctaviante  
12 Echelle de ton (21/72)12 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2
             
13 Echelle de 13/12e de ton (21/72)13 = 1,13327... asymétrique nonoctaviante  
14 Echelle de 14/12e de ton (21/72)14 = 1,14423... asymétrique nonoctaviante  
15 Echelle de 15/12e de ton (21/72)15 = 1,15529... asymétrique nonoctaviante  
16 Echelle de 16/12e de ton (21/72)16 = 1,16646... asymétrique nonoctaviante  
17 Echelle de 17/12e de ton (21/72)17 = 1,17774... asymétrique nonoctaviante  

remarques :
. Dans ce tableau Z72 possède 4+5 échelles asymétriques nonoctaviantes (4 jusqu'au ton), 8 échelles symétriques octaviantes et aucune échelle symétrique nonoctaviante ni asymétriques octaviantes.
. la division paire retrouve toujours la 4+ <=> 12√2 = 1,0594630943592952645618252949463 et une symétrie des échelles nonoctaviantes.

. Ah l'échelle de 12eme de ton ! Z72 est la seule échelle à rassembler et Z12 (1/2 ton), et Z18 (1/3 de ton) et Z24 (1/4 de ton). Ses échelles multiples octaviantes micro-intervallaires sont : 1/6e de ton, 1/4 de ton, 1/3 de ton, et macro-intervallaires : 1/2 ton, 2/3 de ton et 3/4 de ton.

17 échelles multiples de 1/12e de ton

Nous avons 4 échelles nonoctaviantes (+5 au-delà du ton)

nom quantification en cent rapport
5/12e de ton 83,33.. cents (72√2)5 = 1,04929...
7/12e de ton 116,66.. cents (72√2)7 = 1,06969...
5/6e de ton 166,66.. cents (72√2)10 = 1,10102...
11/12e de ton 183,33.. cents (72√2)11 = 1,11167...
et
13/12e de ton 216,66.. cents (72√2)13 = 1,13327...
14/12e de ton 233,33.. cents (72√2)14 = 1,14423...
15/12e de ton 250 cents (72√2)15 = 1,15529...
16/12e de ton 266,66.. cents (72√2)16 = 1,16646...
17/12e de ton 283,33.. cents (72√2)17 = 1,17774...

. Le cycle de chaque échelle se répète tous les 6 degrés voire 3 et 2.
. Toutes les échelles multiples de 1/12e de ton (Z72) répètent un cycle d'un intervalle inclus dans Z12.
. Des 12 échelles multiplent de Z72 (de 1/12e de ton à 12/12e de ton) 8 sont octaviantes et 4 sont nonoctaviantes : inégalité !

L'échelle nonoctaviante de 5/12e de ton divise une 4te en 6 degrés.
L'échelle nonoctaviante de 7/12e de ton divise une 5te en 6 degrés.
L'échelle nonoctaviante de 5/6e de ton divise une 4te en 3 degrés, ou une 7eme m en 6 degrés.
L'échelle nonoctaviante de 11/12e de ton divise une 7eme M en 6 degrés.
puis
L'échelle nonoctaviante de 13/12e de ton divise une 8ve + 2de m en 6 degrés.
L'échelle nonoctaviante de 14/12e de ton divise une 5te en 3 degrés ou une 8ve + 2de M en 6 degrés
L'échelle nonoctaviante de 15/12e de ton divise une 4te en 2 degrés ou 7eme m en 4 degrés ou une 8ve+3ce m en 6 degrés.
L'échelle nonoctaviante de 16/12e de ton divise une 6te m en 3 degrés ou 8ve + 3ce M en 6 degrés.
L'échelle nonoctaviante de 17/12e de ton divise une 8ve + 4te en 6 degrés.

La particularité de Z72 de détenir des intervalles familiers lui donne la fonction de passage vers d'autres intervalles moins familiers.

...

.

.

.

Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/11 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/11e DE TON
nommable aussi Z66 :

6. multiples de 1/11e de ton

11√(6√2) = 66√2 = 21/66 = 1,0105575719944727895462310227068

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 11) 1/11 pour obtenir ses 11 échelles multiples :
  nom rapport propriété  
1 Echelle de 1/11e de ton (21/66)1 = 1,00967... symétrique octaviante = 66√2
2 Echelle de 2/11e de ton (21/66)2 = 1,01943... asymétrique octaviante = 33√2
3 Echelle de 3/11e de ton (21/66)3 = 1,02929... symétrique octaviante = 22√2
4 Echelle de 4/11e de ton (21/66)4 = 1,03924... asymétrique nonoctaviante  
5 Echelle de 5/11e de ton (21/66)5 = 1,04929... asymétrique nonoctaviante  
6 Echelle de 6/11e de ton (21/66)6 = 1,05944... asymétrique octaviante = 11√2
7 Echelle de 7/11e de ton (21/66)7 = 1,06969... asymétrique nonoctaviante  
8 Echelle de 8/11e de ton (21/66)8 = 1,08003... asymétrique nonoctaviante  
9 Echelle de 9/11e de ton (21/66)9 = 1,09047... asymétrique nonoctaviante  
10 Echelle de 10/11e de ton (21/66)10 = 1,10102... asymétrique nonoctaviante  
11 Echelle de ton (21/66)11 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2
             
12 Echelle de 12/11e de ton (21/66)13 = 1,13327... asymétrique nonoctaviante  
13 Echelle de 13/11e de ton (21/66)14 = 1,14423... asymétrique nonoctaviante  
14 Echelle de 14/11e de ton (21/66)15 = 1,15529... asymétrique nonoctaviante  
15 Echelle de 15/11e de ton (21/66)16 = 1,16646... asymétrique nonoctaviante  
16 Echelle de 16/11e de ton (21/66)17 = 1,17774... asymétrique nonoctaviante  

 

Nous avons 6 échelles nonoctaviantes (+5 au-delà du ton)

nom quantification en cent rapport
4/11e de ton 72,72.. cents (66√2)4 = 1,03924...
5/11e de ton 90,90.. cents (66√2)5 = 1,04929...
7/11e de ton 127,27.. cents (66√2)7 = 1,06969...
8/11e de ton 145,45.. cents (66√2)8 = 1,08003...
9/11e de ton 163,63.. cents (66√2)9 = 1,09047...
10/11e de ton 181,81.. cents (66√2)10 = 1,1224...
et
13/12e de ton 236,36.. cents (66√2)13 = 1,13327...
14/12e de ton 254,54.. cents (66√2)14 = 1,14423...
15/12e de ton 272,72.. cents (66√2)15 = 1,15529...
16/12e de ton 290,90.. cents (66√2)16 = 1,16646...
17/12e de ton 309,09.. cents (66√2)17 = 1,17774...

...

.

.

.

Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/10 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/10e DE TON
nommable aussi Z60 :

7. multiples de 1/10e de ton

10√(6√2) = 60√2 = 21/60 = 1,0105575719944727895462310227068

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 10) 1/10 pour obtenir ses 10 échelles multiples :
  nom rapport propriété  
1 Echelle de 1/10e de ton (21/60)1 = 1,01055... symétrique octaviante = 60√2
2 Echelle de 1/5e de ton (21/60)2 = 1,01943... symétrique octaviante = 30√2
3 Echelle de 3/10e de ton (21/60)3 = 1,02929... symétrique octaviante = 20√2
4 Echelle de 2/5e de ton (21/60)4 = 1,03924... asymétrique octaviante = 15√2
5 Echelle de 1/2 ton (21/60)5 = 1,04929... symétrique octaviante = 12√2
6 Echelle de 3/5e de ton (21/60)6 = 1,05944... symétrique octaviante = 10√2
7 Echelle de 7/10e de ton (21/60)7 = 1,06969... asymétrique nonoctaviante  
8 Echelle de 4/5e de ton (21/60)8 = 1,08003... symétrique nonoctaviante échelle commune avec x/15e de ton
9 Echelle de 9/10e de ton (21/60)9 = 1,09047... asymétrique nonoctaviante  
10 Echelle de ton (21/60)10 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2
             
11 Echelle de 11/10e de ton (21/60)11 = 1,13327... asymétrique nonoctaviante  
             
12 Echelle de 6/5e de ton (21/60)12 = 1,13327... asymétrique nonoctaviante  
13 Echelle de 13/10e de ton (21/60)13 = 1,14423... asymétrique nonoctaviante  
14 Echelle de 7/5e de ton (21/60)14 = 1,15529... asymétrique nonoctaviante  
15 Echelle de 15/10e de ton (21/60)15 = 1,16646... asymétrique nonoctaviante  
16 Echelle de 8/5e de ton (21/60)16 = 1,17774... asymétrique nonoctaviante  

rappel ! Une division paire donne une échelle symétrique (avec une valeur centrale), une division impaire donne une échelle asymétrique (sans valeur centrale).

...

.

.

.

Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/9 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/9e DE TON
nommable aussi Z54 :

8. multiples de 1/9e de ton

9√(6√2) = 54√2 = 21/54 = 1,0129187947249466155952769436929...

Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 9) 1/9 pour obtenir ses 9 échelles multiples :
  nom rapport propriété  
1 Echelle de 1/9e de ton (21/54)1 = 1,01292... symétrique octaviante = 54√2
2 Echelle de 2/9e de ton (21/54)2 = 1,02601... asymétrique octaviante = 27√2
3 Echelle de 3/9e de ton (21/54)3 = 1,03926... symétrique octaviante = 18√2
4 Echelle de 4/9e de ton (21/54)4 = 1,05269... asymétrique nonoctaviante  
5 Echelle de 5/9e de ton (21/54)5 = 1,06629... asymétrique nonoctaviante  
6 Echelle de 6/9e de ton (21/54)6 = 1,08007... asymétrique octaviante = 9√2
7 Echelle de 7/9e de ton (21/54)7 = 1,09402... asymétrique nonoctaviante  
8 Echelle de 8/9e de ton (21/54)8 = 1,10816.. asymétrique nonoctaviante  
9 Echelle de ton (21/54)9 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2
             
10 Echelle de 10/9e de ton (21/54)10 = 1,13698... asymétrique nonoctaviante  
             
11 Echelle de 11/9e de ton (21/54)11 = 1,15167... asymétrique nonoctaviante  
12 Echelle de 12/9e de ton (21/54)12 = 1,16655... asymétrique nonoctaviante  
13 Echelle de 13/9e de ton (21/54)13 = 1,18162... asymétrique nonoctaviante  
14 Echelle de 14/9e de ton (21/54)14 = 1,19688.. asymétrique nonoctaviante  
15 Echelle de 15/9e de ton (21/54)15 = 1,21235... asymétrique nonoctaviante  
16 Echelle de 16/9e de ton (21/54)16 = 1,22801... asymétrique nonoctaviante  

...

Propriétés des 5 échelles nonoctaviantes multiples de 1/9e de ton (22,22.. cents) 54√2 = 1,0129187947249466155952769436929... :

1. L'échelle 4/9e de ton (88,88.. cents) divise l'intervalle de 6te mineure (800 cents) en 9 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : sixte mineure, octave + 3ce majeure (2 x 6te m), etc. : 4/9e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6te m et ses multiples. Le 14e degrés s'assimile à une octave bien qu'elle soit plus haute de 44,44.. cents (1244,44.. cents contre 1200 cents) et le 8e degrés s'assimile à la quinte bien qu'elle sonne plus haut de 11,11.. cents (711,11.. cents contre 700 cents). 12,5 cents correspond à l'intervalle de 1/16e de ton.

cycle : 6te m
nbr de degrés : 9
nom tonal : 4/9e de ton
sensation d'octave : au 14e degré ou au 9+5e degré
valeur dérivée de l'octave : 1244,44.. cents contre 1200 cents

...
1° (rang -1) : -88,88.. cents

0° (rang 1) : 0 unison
1° (rang 1) : 88,88.. cents
2° (rang 1) : 177,77.. cents 200 <=> 2de M
3° (rang 1) : 266,66.. cents 300 <=> 3ce m
4° (rang 1) : 355,55.. cents
5° (rang 1) : 444,44.. cents 400 <=> 3ce M
6° (rang 1) : 533,33.. cents 500 <=> 4te
7° (rang 1) : 622,22.. cents 600 <=> 4te+
8° (rang 1) : 711,11.. cents 700 <=> 5te
9° (rang 1) : 800 cents <=> 6te m

1° (rang 2) : 888,889
2° (rang 2) : 977,77.. cents
3° (rang 2) : 1066,66.. cents
4° (rang 2) : 1155,55.. cents
5° (rang 2) : 1244,44.. cents 8ve <=> 1200 cents
...

Le n° du rang (XIe siècle, du francique "hring" qui signifie : anneau) localise le cycle.
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2. L'échelle 5/9e de ton (111,11.. cents) divise l'intervalle de 7e mineure (1000 cents) en 9 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : septième mineur, octave + 6e mineur (2 x 7e m), etc. : 5/9e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 7e m et ses multiples. Le 11e degrés s'assimile à une octave bien qu'elle soit plus haute de 22,22.. cents (1222,22.. cents contre 1200 cents).

cycle : 7e m
nbr de degrés : 9
nom tonal : 5/9e de ton
sensation d'octave au 11e degré ou au 9+2e degré
valeur de l'octave dérivé : 1222,22.. cents contre 1200 cents

...
1° (rang -1) : -111,11.. cents

0° (rang 1) : 0 unison
1° (rang 1) : 111,11.. cents
2° (rang 1) : 222,22.. cents
3° (rang 1) : 333,33.. cents
4° (rang 1) : 444,44.. cents
5° (rang 1) : 555,55.. cents
6° (rang 1) : 666,66.. cents
7° (rang 1) : 777,77.. cents
8° (rang 1) : 888,88.. cents
9° (rang 1) : 1000 cents

1° (rang 2) : 1111,11.. cents
2° (rang 2) : 1222,22.. cents
...

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3. L'échelle 7/9e de ton (155,55.. cents) divise l'intervalle d'8ve+2de majeure (1400 cents) en 9 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave + 2de majeure, double octave et tierce majeure (2 x 8ve+2de M), etc. : 7/9e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 7e m et ses multiples. Le 8e degrés s'assimile à une octave bien qu'elle soit plus haute de 44,44.. cents (1244,44.. cents contre 1200 cents).

cycle : 8ve+2de M
nbr de degrés : 9
nom tonal : 7/9e de ton
sensation d'octave au 8e degré
valeur de l'octave dérivé : 1244,44.. cents contre 1200 cents

...
1° (rang -1) : -155,55.. cents

0° (rang 1) : 0 unison
1° (rang 1) : 155,55.. cents
2° (rang 1) : 311,11.. cents
3° (rang 1) : 466,66.. cents
4° (rang 1) : 622,22.. cents
5° (rang 1) : 777,77.. cents
6° (rang 1) : 933,33.. cents
7° (rang 1) : 1088,88.. cents
8° (rang 1) : 1244,44.. cents
9° (rang 1) : 1400 cents

1° (rang 2) : 1555,55.. cents
2° (rang 2) : 1711,11.. cents
...

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4. L'échelle 8/9e de ton (177,77.. cents) divise l'intervalle d'8ve+3ce majeure (1600 cents) en 9 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave + 3ce majeure, double octave et sixte mineure (2 x 8ve+3ce M), etc. : 8/9e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve+3ce M et ses multiples. Le 7e degrés s'assimile à une octave bien qu'elle soit plus haute de 44,44.. cents (1244,44.. cents contre 1200 cents).

cycle : 8ve+3ce M
nbr de degrés : 9
nom tonal : 8/9e de ton
sensation d'octave au 7e degré
valeur de l'octave dérivé : 1244,44.. cents contre 1200 cents

...
1° (rang -1) : -177,77.. cents

0° (rang 1) :
0
1° (rang 1) : 177,77.. cents
2° (rang 1) : 355,55.. cents
3° (rang 1) : 533,33.. cents
4° (rang 1) : 711,11.. cents 700 <=> 5te
5° (rang 1) : 888,88.. cents 900 <=> 6te M
6° (rang 1) : 1066,66.. cents
7° (rang 1) : 1244,44.. cents 8ve <=> 1200 cents
8° (rang 1) : 1422,22.. cents
9° (rang 1) : 1600 cents <=> 8ve+3ce M

1° (rang 2) : 1877,77.. cents
2° (rang 2) : 1955,55.. cents

...

Le n° du rang (XIe siècle, du francique "hring" qui signifie : anneau) localise le cycle.
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5. L'échelle 10/9e de ton (222,22.. cents) divise l'intervalle d'8ve+6te mineure (2000 cents) en 9 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave + 6te mineure, triple octave et tierce majeure (3 x 8ve+6te m), etc. : 10/9e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve+6te m et ses multiples.

cycle : 8ve+6te m
nbr de degrés : 9
nom tonal : 10/9e de ton
sensation d'octave : néant
valeur de l'octave dérivé : néant

...
1° (rang -1) : -222,22.. cents

0° (rang 1) :
0 unison
1° (rang 1) : 222,22.. cents
2° (rang 1) : 444,44.. cents
3° (rang 1) : 666,66.. cents
4° (rang 1) : 888,88.. cents
5° (rang 1) : 1111,11.. cents
6° (rang 1) : 1333,33.. cents
7° (rang 1) : 1555,55.. cents
8° (rang 1) : 1777,77.. cents
9° (rang 1) : 2000 cents

1° (rang 2) : 2222,22.. cents
2° (rang 2) : 2444,44.. cents

...

Le n° du rang (XIe siècle, du francique "hring" qui signifie : anneau) localise le cycle.
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...

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Suite de toutes les échelles nonoctaviantes par ordre de grandeur
multiples de 1/16e, 1/15e, 1/14e, 1/13e, 1/12e, 1/11e, 1/10e et 1/9e de ton

 

micro-intervalles (+ petit que le 1/2 ton)

fractions de ton   intervalles cycles repères télécharger télécharger
e1 4/15e de ton = 53,33.. cents divise 800 cents en 15 ~ 23 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script.nkp
e2 4/13e de ton = 61,53... cents divise 800 cents en 13 ~ 20 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e3 5/16e de ton = 62,5 cents divise 1000 cents en 16, 500 en 8, 250 en 4, 125 en 2 ~ 19 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e4 5/14e de ton = 71,42... cents divise 1000 cents en 14, 500 en 7 ~ 17 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e5 4/11e de ton = 72,72.. cents divise 800 cents en 11 ~ 17 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e6 5/13e de ton = 76,92... cents divise 1000 cents en 13 ~ 16 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e7 5/12e de ton = 83,33.. cents divise 1000 cents en 12, 500 en 6, 250 en 3 ~ 14 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e8 7/16e de ton = 87,5 cents divise 1400 cents en 16, 700 en 8, 350 en 4, 175 en 2 ~ 14 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e9 4/9e de ton = 88,88.. cents divise 800 cents en 9 ~ 14 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e10 5/11e de ton = 90,90.. cents divise 1000 cents en 11 ~ 13 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e11 7/15e de ton = 93,33.. cents divise 1400 cents en 15 ~ 13 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp

macro-intervalles (+ grand que le 1/2 ton)

e12 8/15e de ton = 106,66.. cents divise 1600 cents en 15 ~ 11 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e13 7/13e de ton = 107,69... cents divise 1400 cents en 13 ~ 11 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e14 5/9e de ton = 111,11.. cents divise 1000 cents en 9 ~ 11 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e15 9/16e de ton = 112,5 cents divise 1800 cents en 16, 900 en 8 ~ 11 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e16 4/7e de ton = 114,28... cents divise 800 cents en 7 ~ 11 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e17 7/12e de ton = 116,66.. cents divise 1400 cents en 12, 700 en 6 (se résout à la 5te) ~ 10 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e18 8/13e de ton = 123,07... cents divise 1600 cents en 13 ~ 10 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e19 5/8e de ton = 125 cents divise 1000 cents en 8, 500 en 4 (se résout à la 4te) ~ 10 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e20 7/11e de ton = 127,27.. cents divise 1400 cents en 11 (509,09.. cents comme une 4te) ~ 10 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e21 9/14e de ton = 128,57... cents divise 1800 cents en 14, 900 en 7 ~ 10 div ~ no 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e22 11/16e de ton = 137,5 cents divise 2200 cents en 16, 1100 en 8 ~ 9 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e23 9/13e de ton = 138,46... cents divise 1800 cents en 13 ~ 9 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e24 7/10e de ton = 140 cents divise 1400 cents en 10, 700 en 5 ~ 9 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e25 5/7e de ton = 142,85... cents divise 1000 cents en 7 ~ 9 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e26 8/11e de ton = 145,45.. cents divise 1600 cents en 11 ~ 8 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e27 11/15e de ton = 146,66.. cents divise 2200 cents en 15 ~ 8 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e28 10/13e de ton = 153,84... cents divise 2000 cents en 13 ~ 8 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e29 7/9e de ton = 155,55.. cents divise 1400 cents en 9 ~ 8 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e30 11/14e de ton = 157,14... cents divise 2200 cents en 14, 1100 en 7 ~ 8 div ~ no 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e31 4/5e de ton = 160 cents divise 800 cents en 5 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e32 13/16e de ton = 162,5 cents divise 2600 cents en 16, 1300 en 8 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e33 9/11e de ton = 163,63.. cents divise 1800 cents en 11 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e34 10/12e de ton = 166,66.. cents divise 2000 cents en 12, 1000 en 6, 500 en 3 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e35 11/13e de ton = 169,23... cents divise 2200 cents en 13 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e36 13/15e de ton = 173,33.. cents divise 2600 cents en 15 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e37 7/8e de ton = 175 cents divise 1400 cents en 8, 700 en 4 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e38 8/9e de ton = 177,77.. cents divise 1600 cents en 9 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e39 9/10e de ton = 180 cents divise 1800 cents en 10, 900 en 5 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e40 10/11e de ton = 181,81.. cents divise 2000 cents en 11 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e41 11/12e de ton = 183,33.. cents divise 2200 cents en 12 ~ 7 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e42 12/13e de ton = 184,61... cents divise 2400 cents en 13 (dbl 8ve div par 13) ~ 7 div ~ no 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e43 13/14e de ton = 185,71... cents divise 2600 cents en 14, 1300 en 7 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e44 14/15e de ton = 186,66.. cents divise 2800 cents en 15 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e45 15/16e de ton = 187,5 cents divise 3000 cents en 16, 1500 en 8 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp

1ers intervalles + grand que le ton

e46 17/16e de ton = 212,5 cents divise 3400 cents en 16, 1700 en 8, 850 en 4, 425 en 2 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e47 16/15e de ton = 213,33.. cents divise 3200 cents en 15 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e48 15/14e de ton = 214,28... cents divise 3000 cents en 14 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e49 14/13e de ton = 215,38... cents divise 2800 cents en 13 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e50 13/12e de ton = 216,66.. cents divise 2600 cents en 12, 1300 en 6 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e51 12/11e de ton = 218,18.. cents divise 2400 cents en 11 (dbl 8ve div par 11) ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e52 11/10e de ton = 220 cents divise 2200 cents en 10, 1100 en 5 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp
e53 10/9e de ton = 222,22.. cents divise 2000 cents en 9 ~ 6 div ~ 8ve Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp

Téléchargez toutes les 53 échelles nonoctaviantes (au format Scala .scl in .zip 21Ko)
Téléchargez toutes les 53 échelles nonoctaviantes (au format Kontakt 2 .nkp in .zip 90Ko)

remarque : pour se familiariser avec ces 53 échelles non-octaviantes, on conseille dans un premier temps d'utiliser un instrument de musique familier.
Pianoteq 2 est un outil pratique qui lit directement les fichiers Scala .scl avec des sons de pianos modélisés. Le sampler conteneur Kontakt accepte tous les sons.

svp, s'il y a, rapportez les erreurs

53 ECHELLES NONOCTAVIANTES ISSUES DE :

9 échelles non-octaviantes multiples de 1/16e de ton

Echelle de 5/16e de ton = 62,5 cents
Echelle de 7/16e de ton = 87,5 cents
Echelle de 9/16e de ton = 112,5 cents
Echelle de 5/8e de ton = 125 cents
Echelle de 11/16e de ton = 137,5 cents
Echelle de 13/16e de ton = 162,5 cents
Echelle de 7/8e de ton = 175 cents
Echelle de 15/16e de ton = 187,5 cents
Echelle de 17/16e de ton = 212,5 cents

8 échelles non-octaviantes multiples de 1/15e de ton

Echelle de 4/15e de ton = 53,33.. cents
Echelle de 7/15e de ton = 93,33.. cents
Echelle de 8/15e de ton = 106,66.. cents
Echelle de 11/15e de ton = 146,66.. cents
Echelle de 4/5e de ton = 160 cents
Echelle de 13/15e de ton = 173,33.. cents
Echelle de 14/15e de ton = 186,66.. cents
Echelle de 16/15e de ton = 213,33.. cents

7 échelles non-octaviantes multiples de 1/14e de ton

Echelle de 5/14e de ton = 71,42... cents
Echelle de 4/7e de ton = 114,28... cents
Echelle de 9/14e de ton = 128,57... cents
Echelle de 5/7e de ton = 142,85... cents
Echelle de 11/14e de ton = 157,14... cents
Echelle de 13/14e de ton = 185,71... cents
Echelle de 15/14e de ton = 214,28... cents

9 échelles non-octaviantes multiples de 1/13e de ton

Echelle de 4/13e de ton = 61,53... cents
Echelle de 5/13e de ton = 76,92... cents
Echelle de 7/13e de ton = 107,69... cents
Echelle de 8/13e de ton = 123,07... cents
Echelle de 9/13e de ton = 138,46... cents
Echelle de 10/13e de ton = 153,84... cents
Echelle de 11/13e de ton = 169,23... cents
Echelle de 12/13e de ton = 184,61... cents (dbl oct div par 13)
Echelle de 14/13e de ton = 215,38... cents

5 échelles non-octaviantes multiples de 1/12e de ton

Echelle de 5/12e de ton = 83,33.. cents
Echelle de 7/12e de ton = 116,66.. cents
Echelle de 10/12e de ton = 166,66.. cents
Echelle de 11/12e de ton = 183,33.. cents
Echelle de 13/12e de ton = 216,66.. cents

7 échelles non-octaviantes multiples de 1/11e de ton

Echelle de 4/11e de ton = 54,54.. cents
Echelle de 5/11e de ton = 90,90.. cents
Echelle de 7/11e de ton = 127,27.. cents
Echelle de 8/11e de ton = 145,45.. cents
Echelle de 9/11e de ton = 163,63.. cents
Echelle de 10/11e de ton = 181,81.. cents
Echelle de 12/11e de ton = 218,18.. cents (dbl oct div par 11)

4 échelles non-octaviantes multiples de 1/10e de ton

Echelle de 7/10e de ton = 140 cents
Echelle de 4/5e de ton = 160 cents
Echelle de 9/10e de ton = 180 cents
Echelle de 11/10e de ton = 220 cents

5 échelles non-octaviantes multiples de 1/9e de ton

Echelle de 4/9e de ton = 88,88.. cents
Echelle de 5/9e de ton = 111,11.. cents
Echelle de 7/9e de ton = 155,55.. cents
Echelle de 8/9e de ton = 177,77.. cents
Echelle de 10/9e de ton = 222,22.. cents

 

Remarques
. Les micro-intervalles non-octaviants se situent entre le quart de ton (50 cents) et le demi-ton (100 cents), calculés à partir de l'échelle de 1/16e de ton. Pour affiner au-delà du 1/4 de ton, il faut descendre encore plus bas que le 1/16e de ton.
. Il y a + de macroéchelles non-octaviantes que de microéchelles non-octaviantes : 34 macroéchelles pour 11 microéchelles.
. Nous nous sommes arrêtés juste après le ton (200 cents).
. Il existe 53 échelles non-octaviantes calculées à partir du 1/16e de ton (12,5 cents) jusqu'au premier intervalle après le ton (200 cents).
. Il existe 2 échelles doubles octaviantes : l'échelle de 12/13e de ton (184,6153... cents) et celle de 12/11e de ton (218,18.. cents), aussi la largeur des intervalles empêche l'existence d'une note sensible qui oblige à l'octaviation, à la résolution dans l'octave bien qu'elles restent double-octaviantes.
. Il existe 51 échelles non-octaviantes calculées à partir du 1/16e de ton (12,5 cents) jusqu'au premier intervalle après le ton (200 cents).
. L'ambitus divisé des échelles non-octaviantes est toujours un intervalle appartenant à Z12 : 800 (6te m), 1000 (7e m) et 1400 (8ve + 2d M) pour les échelles microintervallaires puis 800 (6te m), 1000 (7e m), 1400 (8ve + 2d M), 1600 (8ve + 3ce M), 1800 (8ve + 4te+), 2000 (8ve + 6te m), 2200 (8ve + 7e m), 2400 (dbl 8ve), 2600 (dbl 8ve + 2de M), 3000 (dbl 8ve + 4te+) pour les échelles macrointervallaires. Ces ambitus non-octaviants forment des cycles appartenant à Z6 qui est la "gamme par ton de Debussy" puisque le ton est l'intervalle référant et divisé pour obtenir ces échelles non-octaviantes avec les échelles de : 1/16e de ton, 1/15e de ton, 1/14e de ton, 1/13e de ton, 1/12e de ton, 1/11e de ton, 1/10e de ton et 1/9e de ton.
. L'échelle de 7/12e de ton (116,66.. cents) se résout dans la quinte : le 6e et le 2d degrés sont sensibles.
. L'échelle de 5/8e de ton (125 cents) se résout dans la quarte : le 4e et 2d degrés sont sensibles.

 

 

Identification des cycles et de leurs "stries"
les cycles divisés sont des intervalles éléments de Z12
il y a 19 familles cyclées nonoctaviantes

 

. Il y a

5

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de la quarte (4te = 500 cents) en 8, 7, 6, 4 et 3 (div. paires+impaires) 5/16e de ton, 5/14e de ton, 5/12e de ton, 5/8e de ton et 10/12e de ton
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de la quarte augmentée (4te+ = 600 cents)      
. Il y a

4

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de la quinte (5te = 700 cents) en 8, 6, 5, et 4 (div. paires+impaire) 7/16e de ton, 7/12e de ton, 7/10e de ton et 7/8e de ton
. Il y a

6

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de la sixte mineure (6te m = 800 cents) en 15, 13, 11, 9, 7 et 5 (div. impaires)  
. Il y a

3

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de la sixte majeure (6te M = 900 cents) en 8, 7 et 5 (div. paire+impaires)  
. Il y a

4

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de la septième mineure (7e m = 1000 cents) en 13, 11, 9 et 7 (div. impaires)  
. Il y a

3

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de la septième majeure (7e M 1100 cents) en 8, 7 et 5 (div. paire+impaires)  
. Il y a

3

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de l'octave et seconde mineure (8ve+2de m = 1300 cents) en 8, 7 et 6 (div. paires+impaire)  
. Il y a

3

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de l'octave et seconde majeure (8ve+2de M = 1400 cents) en 15, 13 et 9 (div. impaires)  
. Il y a

1

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de l'octave et tierce mineure (8ve+3ce m = 1500 cents) en 8 (div. paire)  
. Il y a

4

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de l'octave et tierce majeure (8ve+3ce M = 1600 cents) en 15, 13, 11 et 9 (div. impaires)  
. Il y a

1

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de l'octave et quarte (8ve+4te = 1700 cents ) en 8 (div. paire)  
. Il y a

2

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de l'octave et quarte augmentée (8ve+4te+ = 1800 cents) en 13 et 11 (div. impaires)  
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de l'octave et quinte (8ve+5te = 1900 cents)      
. Il y a

3

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de l'octave et sixte mineure (8ve+6te m = 2000 cents) en 13, 11 et 9 (div. impaires)  
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de l'octave et sixte majeure (8ve+6te M = 2100 cents)      
. Il y a

3

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de l'octave et septième mineure (8ve+7e m = 2200 cents) en 15, 13 et 12 (div. impaires+paire)  
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de l'octave et septième majeure (8ve+7e M = 2300 cents)      
. Il y a

2

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de double octave (2.8ve = 2400 cents) en 13 et 11 (div. impaires)  
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de double octave et seconde mineure (2.8ve+2de m = 2500 cents)      
. Il y a

1

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de double octave et seconde majeure (2.8ve+2de M = 2600 cents) en 15 (div. impaire)  
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de double octave et tierce mineure (2.8ve+3ce m = 2700 cents)      
. Il y a

2

échelles nonoctaviantes qui divisent le cycle de double octave et tierce majeure (2.8ve+3ce M = 2800 cents) en 15 et 13 (div. impaires)  
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de double octave et quarte (2.8ve+4te = 2900 cents)      
. Il y a

1

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de double octave et quarte augmentée (2.8ve+4te+ = 3000 cents) en 14 (div. paire)  
. Il y a

0

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de double octave et quinte (2.8ve+5te = 3100 cents)      
. Il y a

1

échelle nonoctaviante qui divise le cycle de double octave et sixte mineure (2.8ve+6te m = 3200 cents) en 15 (div. impaire)  

Remarques
. Il y a 19 cycles d'intervalles de Z12 qui offrent 53 échelles non-octaviantes.
. Il y a 11 types de divisions dont 4 divisions paires : 4, 6, 8 et 12 (une fois) et 7 divisions impaires : 3, 5, 7, 9, 11, 13 et 15 dont 5 sont premières (= des nombres premiers. 6 est à la fois paire et impaire et nous aurions pû le placer dans la famille impaire) qui divisent les 19 cycles.
. Pas de division en dessous de l'ambitus de quarte = 500 cents.
. Les échelles qui retrouvent la quinte (5te) et la quarte (4te) dans un cycle, sont les échelles multiplent d'1/16e de ton, d'1/14e de ton, d'1/12e de ton et d'1/10e de ton : toutes les quatres à division paire.
. 6 cycles rassemblent à la fois des divisions paires et impaires. Le cycle de l'octave et septième mineure (8ve+7e m = 2200 cents) rassemble à la fois des divisions impaires et paire : 15, 13 et 12, mais est le seul à avoir une division par 12 dans le groupe.
. 10 cycles ont des divisions impaires.
. 3 cycles ont des divisions paires et uniques : 8, 8, 14.

Va-t-on vérifier les autres divisions de ces cycles ? Oui.
...

Rappel :

notes do do# ré# mi fa fa# sol sol# la la# si do
cents 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
intervalles unisson 2de m 2de M 3ce m 3ce M 4te 4te+ 5te 6te m 6te M 7e m 7e M 8ve

 

Téléchargez toutes les 53 échelles non-octaviantes (au format Scala .scl in .zip 21Ko)
Téléchargez toutes les 53 échelles non-octaviantes (au format Kontakt 2 .nkp in .zip 90Ko)
Pour tout autre instrument prendre le format Scala .scl et l'exporter au format accépté de l'instrument avec une exportation à partir de Scala même (avec la commande "send").
Téléchargez l'abaque des 53 échelles nonoctaviantes (format A3 pdf 41Ko)
Download the Mathius Shadow-Sky 53 nonoctave scales chart (A3 pdf format 41Ko)

 

 

et... ?

 

 

A quoi peut servir l'usage d'autres échelles de divisions égales divisant des nonoctaves ?
et d'en avoir plusieurs du même type ?

 

est-ce une histoire de « regroupement familial » ou tribal ?

 

Dans les 53 échelles nonoctaviantes découvertes, nous avons une série de nonoctaves proche d'octave non multiples de 2 (1200 cents) telles que :

nonoctaves

divisions nonoctaviantes

composition des familles
e1 1226,66.. cents

23

famille 23 : 1 enfant
e2 1230,769230...... cents

20

famille 20 : 1 enfant
e3 1187,5 cents

19

famille 19 : 1 enfant
e4 1214,285714...... cents

17

famille 17 : 2 enfants
e5 1236,36.. cents
e6 1230,769230...... cents

16

famille 16 : 1 enfant
e7 1166,66.. cents

14 (ou 1250 cents pour div. 15)

famille 14 : 3 enfants (ou famille 14 : 2 enfants et famille 15 : 1 enfant qui se partage 2 familles)
e8 1225 cents

14

e9 1244,44.. cents
e10 1181,81.. cents

13

famille 13 : 2 enfants
e11 1213,33.. cents

frontière micro et macro intervalles

e12 1173,33.. cents

11

famille 11 : 5 enfants
e13 1184,615384...... cents
e14 1222,22.. cents
e15 1237,5 cents
e16 1257,142857...... cents
e17 1166,66.. cents

10

famille 10 : 3+2 enfants avec 2 enfants qui se partagent avec la famille 9
e18 1230,769230...... cents
e19 1250 cents
e20 1272,72.. cents

10 (ou 1145,45.. cents pour div. par 9)

e21 1285,714285...... cents

10 (ou 1157,142857...... pour div. par 9)

e22 1237,5 cents

9

famille 9 : 4+2 enfants avec 2 enfants qui se partagent avec la famille 10
e23 138,461538...... (?) cents
e24 1260 cents
e25 1142,857142...... cents
e26 1163,63.. cents

8

famille 8 : 4+1 enfants avec 1 enfant qui se partage avec la famille 7
e27 1173,33.. cents
e28 1230,769230...... cents
e29 1244,44.. cents
e30 1257,142857...... cents

8 (ou 1100 cents pour div. par 7)

e31 1120 cents

7

famille 7 : 11+1 enfants avec 1 enfant qui se partage avec la familles 6
e32 1137,5 cents
e33 1145,45.. cents
e34 1166,66.. cents
e35 1184,615384...... cents
e36 1213,33.. cents
e37 1225 cents
e38 1244,44.. cents
e39 1260 cents
e40 1272,72.. cents
e41 1283,33.. cents
e42 1292,307692...... cents

7 (ou 1107,692307...... cents pour div. par 6)

e43 1114,285714...... cents

6

 
e44 1120 cents
e45 1125 cents

frontière au-delà du ton

e46 1275 cents

6

famille 6 : 8+4 enfants avec 1 enfant qui se partage avec la famille 7, et 3 enfants qui se partagent avec la famille 5
e47 1280 cents
e48 1285,714285...... cents
e49 1292,307692...... cents
e50 1300 cents
e51 1309,09.. cents

6 (ou 1090,90.. cents pour div. par 5)

e52 1320 cents

6 (ou 1100 cents pour div. par 5)

e53 1333,33.. cents

6 (ou 1111,11.. cents pour div. par 5)

Remarques :
. La tolérance à la sensation d'octave qui dépend du contexte et de chacun : notre « marge perceptive », ne dépasse toujours pas + ou - 12,5 cents (1/16e de ton), ce qui donne soit 8ve+1/16e de ton = 1212,5 cents, soit 8ve-1/16 de ton = 1187,5 cents. Ma sensation d'octave se perd + ou - au-dessus et en dessous. L'octave gouffre à un rapport stricte de 2 et rayonne au-delà de son propre rapport. Ce rayonnement brouillant de l'octaviation (notion de fusion) est dépendant de la perception (l'idée de la fusion) et de la projection (culturelle) de chacun. Mais l'affinement de la perception se travaille à l'usage.
. Le nombre d'échelles nonoctaviantes, ici 53, dépend de la division la plus serrée choisie : ici l'échelle de 1/16e de ton. Il est bien sûr possible de peupler plus les familles en prenant une coupure plus fine. Dans la microtonalité, il existe tellement de subtilités que la macrotonalité saute par bonds.
. Tous les calculs sont à revérifer (il ne le sont pas encore) pour l'ajustement du champ des choses (j'ai une fâcheuse manie à me tromper dans les calculs, une réaction congénitale au systémisme sans doute).

34 nonoctaves en cent (certaines sont communes à plusieurs échelles nonoctaviantes) par ordre croissant des 52 échelles nonoctaviantes (manque e23) :

1114,28... (e43) ;
1120 (e31, e44) ;
1125 (e45) ;
1137,5 (e32) ;
1142,85... (e25) ;
1145,45.. (e33) ;
1163,63.. (e26) ;
1166,66.. (e7, e17, e34) ;
1173,33.. (e12, e27) ;
1181,81.. (e10) ;
1184,61... (e13, e35) ;
1187,5 (e3) ;

1213,33.. (e11, e36) ;
1214,28... (e4) ;
1222,22.. (e14) ;
1225 (e8, e37) ;
1226,66.. (e1) ;
1230,76... (e2, e6, e18, e28) ;
1236,36.. (e5) ;
1237,5 (e22, e15) ;
1244,44.. (e9, e29, e38) ;
1250 (e19) ;
1257,14... (e16, e30) ;
1260 (e24, e39) ;
1272,72.. (e40, e20) ;
1275 (e46) ;
1280 (e47) ;
1283,33.. (e41) ;
1285,71... (e48, e21) ;
1292,307... (e49, e42) ;
1300 (e50) ;
1309,09.. (e51) ;
1320 (e52) ;
1333,33.. (e53) ;

 

L'antioctaviation est un procédé qui donne la possibilité de s'échapper du cercle (vicieux ?) de l'attraction binaire. L'antioctaviation permet d'ouvrir des champs inexplorables dans le contexte d'une circulation de l'encerclement sur elle-même. De procéder à l'ouverture du système monoscalaire circulaire tempéré octaviant Z12 sur des champs multiscalaires nonoctaviants (d'échelles cycliques ou noncycliques) et se détacher des attractions obligées. Du poids des choses ? à l'image d'une société libre.

 

SOMMATION évaluante des échelles divisant le ton (200 cents)

Il y a
46 échelles nonoctaviantes et
54 échelles octaviantes
multiples des 8 tribus d'échelles octaviantes
qui ne dépassent pas l'intervalle de ton (6√2 ou 200 cents).

8
1/ne de ton = {1/16e de ton ; 1/15e de ton ; 1/14e de ton ; 1/13e de ton ; 1/12e de ton ; 1/11e de ton ; 1/10e de ton ; 1/9e de ton}

et .. échelles nonoctaviantes qui ne dépassent pas l'intervalle de 5√2 ou 240 cents.

 

Constat 1 & 2 :

=> Il existe dans toute échelle octaviante au moins une échelle nonoctaviante multiple.

=> Chaque échelle nonoctaviante issue de la division du ton, divise le cycle d'un intervalle de Z12 : 4te, 5te, 6te m, 6te M, 7e m, 7e M, 8ve+2de m, 8ve+2de M, 8ve+3ce m, 8ve+3ce M, 8ve+4te, etc., jusqu'à double 8ve+3ce M (3200 cents).

 

.

Télechargement

Téléchargez l'abaque des 53 échelles nonoctaviantes (format A3 pdf 41Ko)
Download the Mathius Shadow-Sky 53 nonoctave scales chart (A3 pdf format 41Ko)

Téléchargez toutes les 53 échelles nonoctaviantes (au format Scala .scl in .zip 21Ko)
Téléchargez toutes les 53 échelles nonoctaviantes (au format Kontakt 2 .nkp in .zip 90Ko)

 

...

 

 

 

post Note
Le sampler est un instrument qui permet de contenir tout autre instrument, acoustique et électronique (successivement et simultanément). À la fois il rassemble, déclenche et module (contrôleurs MIDI) les échantillons. Son passage en instrument virtuel dans l'ordinateur permet de lire des échantillons à la fois multipistes et aussi longs que le disque dur le permet. Nous avons choisi de travailler avec Kontakt 2, car c'est le seul sampler natif à accepter les scripts que le programme Scala génère. Cependant Kontakt (comme tous les samplers natifs) a une tendance à rendre les sons moins présents une fois chargés et joués dans le sampler, à leur donner un flou qui superposé à d'autres, efface le contour de l'identification (nous avons partiellement résolu le problème en doublant le sample plus une petite cloche EQ maximum de +3dB environ entre 300 et 6kHz suivant le son). Aussi il ne peut comme certains instruments MIDI « hardware » (je pense aux samplers Ensoniq ou Kurzweil) changer d'échelle pendant le jeu en direct de la musique; avec le sysex (system exclusif) ou le MIDI tuning dump*. Pour changer d'échelle avec Kontakt et les autres pendant le jeu, il faut copier le même échantillon sur un autre canal MIDI avec une autre échelle : en changeant de canal, on change d'échelle. Ce sont des avantages contre des inconvénients, des inconvénients contre des avantages. En revanche, nous compositeurs nous devons composer avec ce qui nous est donné (pour les non-programmeurs inventeurs bricoleurs) et cela relève toujours de l'acrobatie à concorder un possible avec une possibilité.

Note de la note
* : presque tous les synthétiseurs Yamaha, du DX7II au VL-7 permettent le MIDI dump, aussi pour le changement d'échelle en temps réel pendant le jeu : mais peu de compositeurs à part quelques « originaux » comme Wendy Carlos (plus adepte du Kurzweil) et d'autres inconnus en ont exploité ces possibilités. Encore aujourd'hui la synthèse par modulation de fréquence** de John Chowning mélangée avec l'utilisation d'échelle autre que celle de 12 tons divisant l'octave*** reste marginale (Yamaha a stoppé la production de synthétiseurs à modulation de fréquence avec le TG77 et le SY99 en 1993 (?)). Tous les synthétiseurs et samplers n'ont pas la capacité de changer leur table d'accord (tuning table) interne. Et les peux de synthétiseurs qui ont une table d'accord variable (par exemple Korg) n'ont pas été construit avec une résolution et des écarts suffisants pour jouer des échelles, modes et gammes de toutes provenances. (the World Music Menu, 1987-2004 par Stephen Nachmanovitch). Reste ceux-ci : Kurzweil K2000, K2500, K2600 and K150 (étonnant que Scala n'est pas compatible avec Kurzweil : le sampler hardware le plus flexible au reaccordage). E-mu Proteus (all models), Morpheus, Ultra Proteus, Proteus 1000, 2000, 2500. Yamaha SY99, SY77, TG77, VL1, TX802, TX81Z, & DX7II. Ensoniq MR-61, MR-76, MR-Rack. Native Instruments FM7, Kontakt 2, Pro-53. Scala en énumère un peu plus (sans les samplers Kurzweil)****.

Note de la note de la note
** certains compositeurs « spectraux » se servent de cette synthèse comme générateur d'accords « non-harmoniques ».
*** avec ses modes usuels : majeur, mineur et pentatonique.
**** L'application « World Music Menu » de Stephen Nachmanovitch (adepte de « l'intonation juste » [pythagoricienne ou plus tôt Chaldéenne de Mésopotamie ou de Ling Lun en Chine] c'est-à-dire des rapports avec des nombres entiers) fut le premier programme informatique (que j'ai connu) proposant une collection de gammes d'accordages différents (du Monde) pour les synthétiseurs et samplers numériques. Sa durée de vie : 1987 - 2004. Stephen Nachmanovitch publie un petit ouvrage « Introduction to Tuning » (http://www.freeplay.com/Writings/Tuning.pdf) qui explique de façon assez claire quelques faits dans la manipulation occidentale des hauteurs dont voici quelques extraits traduits :

« En musique, il n'existe pas d'oreille absolue ou de hauteur absolue. On perçoit toujours une hauteur en rapport et en relation avec un ton fondamental ou un ton référent. » Ce qui est nommée : « oreille absolue », est en fait une excellente mémoire qui reconnait les hauteurs d'une échelle ou d'un mode en fonction du diapason référent de 440Hz pour le la3, ainsi que ses intervalles. (...) « Les gammes, en général, possèdent 5, 7 ou 12 intervalles. » (...) « Une « note » ne représente pas un seul ton, mais toute une région de tons qui sont proches les uns des autres, mais distincts les uns des autres. Les différences de la même note (par exemple do) dépendent du contexte musical de la gamme employée. » (...) « Comme il est difficile de se représenter et de comparer des rapports de nombres entiers (exemple lequel de 64/45 est plus grand ou plus petit que 45/32 ?), le musicologue Alexandre Ellis invente en 1885 le cent, dont 100 cents représente le demi-ton tempéré. Convertir les rapports (x/y) en cents permet une comparaison rapide des différents intervalles. La formule de conversion est : cents = log(ratio)/log(2) x 1200. Ce qui nous donne par exemple pour la quinte 3/2 une valeur arrondie à 702 cents (701,9550008653874177444867327349... = log [3/2] / log [2] x 1200) au lieu des 700 cents du tempérament égal. Ou pour la tierce majeure de 5/4, 386 cents au lieu de 400 cents du tempérament égal. Dans l'exemple ci-dessus 64/45 correspond à 610 cents et 45/32 correspond à 590 cents contre les 600 cents du triton tempéré. Un système similaire au cent fut développé en Chine, basé sur les puissances de 3. »

Critique
La croyance à « l'intonation juste » provient de l'ancienne querelle entre « consonance » et « dissonance », pensant que des rapports de nombres entiers (entiers naturels éléments de N) permettent la consonance alors que des rapports de nombres non entiers (tels que les nombres réels élément de R) ne le permettent pas (ou provoquent la dissonance). Cette querelle aujourd'hui n'a plus de sens, car depuis plus d'une cinquantaine d'années les musiciens et les compositeurs ont introduit les sons jugés autrefois comme « bruits » dans leur musique (ce qui a permis d'utiliser une pléthore de sonorités inusitées). La notion d'agréable et d'insupportable n'a rien à voir avec la musique et relève plus du domaine de la morale et de la culture : voir dans ce sens notre abaque « musique, son, bruit, agréable, insupportable ». Pour Stephen Nachmanovitch plus les rapports de nombres entiers sont grands plus ils sont dissonants, bien qu'il affirme la beauté de l'intervalle chinois Seven Liü de 729/512 ou arabe Rahawi de 262144/177147. Mathématiquement les rapports d'égalité du périmètre d'un cercle π2 (onde fondamentale) ne se vérifie pas avec ses multiples 2/2, 4/4, 8/8, 16/16, etc. puisque π tendrait vers 2 qui correspond au diamètre du cercle : c'est un paradoxe (Pi = 3,1415926535897932384626433832795...). Ce qui signifie que si deux courbes tendent l'une vers l'autre, elles ne sont pas nécessairement de même longueur. Ce qui nous permet de conclure que le calcul ne rejoint pas nécessairement notre perception et que les notions de juste et de faux (d'injuste) sont aussi relatives que la morale d'une culture de ce qui est acceptable ou pas.

.

 

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SUITE EXPLORATOIRE :

 

L'exploration des échelles octaviante tonalisées nous a montré l'existence d'échelles nonoctaviantes au sein même du tempérament octaviant. Pouvait-on s'y attendre ? Ces découvertes nous apprennent que la nonoctaviation existe aussi dans la division d'autres intervalles inclus dans l'octaviation tempérée comme la quarte, la quinte, la sixte mineure, la sixte majeure, la septième mineure et d'autres intervalles plus grands que l'octave. Dans les 53 échelles nonoctaviantes découvertes, 5 divisent la quarte, 4 divisent la quinte, 6 divisent la sixte mineure, 3 divisent la sixte majeure, 4 divisent la septième mineure, 3 divisent la septième majeure, 2 divisent une octave et seconde mineure, etc. En rapport avec tous ces intervalles tonaux divisés, nous allons dénombrer les autres échelles nonoctaviantes qui s'y dissimulent.

...

 

SUITE EXPLORATOIRE 2

SUITE EXPLORATOIRE 3

SUITE EXPLORATOIRE 4

DES ECHELLES NONOCTAVIANTES

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DES CONNEXIONS SCALAIRES

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DES TRANSFORMATIONS SCALAIRES

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DES MODES NONOCTAVIANTS

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DES ACCORDS NONOCTAVIANTS - ET LEURS MUTATIONS
dans l'amas du bruit du silence des armes au nid

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A la recherche des échelles nonoctaviantes dans la division de l'octave

A la recherche des échelles nonoctaviantes dans la division des nonoctaves éléments de Z12

A la recherche des échelles nonoctaviantes à partir des intervalles de la série harmonique

Les échelles : les suites en séries infinies pour les hôtes ou le savoir scalaire

Comment noter toutes les échelles pour les musiciens ?

L'harmonie nonoctaviante, révolution musicale

Théorie des Champs Scalaires

hauteur
intervalle

échelle
mode

 

suite

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