Exploration scalaire 1
d'autres sonores nécessaires
découverte d'échelles inouïes .1
C'est à l'écoute de la « gamme par ton » de Debussy (qui a coloré toute la musique impressionniste du XIXe siècle) que j'ai pris conscience de l'importance de la sonorité des échelles. Cette gamme est en fait une échelle de l'octave divisée en 6 intervalles similaires (nommée mathématiquement 200 cents et 21/6 ou 6√2 = 1,12246). Au conservatoire de Varsovie, je fus impressionné par l'extrême variété des modes de la musique des Tziganes de l'Est : où presque chaque état d'âme a son mode musical. Les modes de la musique indienne dont les modes tziganes sont dérivés sont élaborés dans le même sens. Bêla Bartók en a recueilli quelques-uns en Roumanie, Bulgarie et Hongrie. Je découvris ensuite les modes à transpositions limitées d'Olivier Messian et les manipulations scalaires de Iannis Xenakis et Pierre Barbaud reprises et développées par André Riotte : tous ces arrangements de hauteurs, impriment des sensations différentes, dans notre système de projections perceptives des sonorités. Une même musique avec une gamme différente, change (voir infra avec la valse de Chopin) : elle n'est pas perçue et reçue pareil : les proportions et ses attachements émotionnels sont perturbés [1].
Ce qui nous intéresse dans l'utilisation de la multitude d'échelles possible, ce sont les sonorités de chacune d'elle. Chaque intervalle possède sa propre sonorité (jusqu'à la limite du spectre imprévisible des 2 sons constituants l'intervalle) : une identification de sensations particulières propre à chacun. La composition des intervalles constitua le premier pas vers une musique savante, celle d'élaborer un système abstrait d'échanges et de passages pour la composition de musiques très diverses au-delà du simple accompagnement « à la fondamentale » du chant. Le système tempéré de 12 tons a fait son temps depuis plus de trois siècles : c'est un système qui a permis ses passages et ses déplacements (transpositions, modulations, etc.), mais qui reste fermé sur lui-même : il fut élaboré et construit sur deux modes : le majeur et le mineur. Depuis le début du XXe siècle, les compositeurs à partir des propositions de Schoenberg et Wyschnegradsky essayent de proposer autre chose. Où l'un proposa un nouveau système avec le dodécaphonisme et l'autre proposa « une multiplicité de milieux sonores tempérés ultrachromatiques à base de micro-intervalles » (J.E. Marie) [2]. C'est le début de la révolution musicale permanente que traversent un Stockhausen, un Cage et qui se confronte jusqu'à aujourd'hui à une résistance farouche de la « tradition tonale » qui garde malgré tout sa domination dans la création contemporaine. C'est le paradoxe contemporain de l'histoire occidentale de la musique, qui depuis son origine offre une succession de musiques qui se renouvellent par l'apport de sonorités et de savoir-faire compositionels différents parfois inattendus. Une tradition historique occidentale du renouvellement artistique brisé par l'exploitation de la rentabilité médiocratique d'aujourd'hui.
Diviser les cordes pour créer des échelles et des modes musicaux est une pratique de la Grèce antique (ton vient de tendre une corde musicale). Elle est toujours en pratique de nos jours. La culture en Chine est beaucoup plus ancienne, pour former des modes de hauteurs elle ajustait des bambous, les cordes aussi tout comme la culture de l'Inde sur des proportions. Les Tziganes ont modifié et transporté ces modes vers l'Europe. Pourquoi n'avons-nous retenu que deux modes (majeurs et mineur) des dizaines emmenés par les Tziganes de l'Inde ? Pourquoi durant toute l'histoire occidentale de la musique, depuis 2500 ans tous ajustent des gammes de hauteurs (musiciens et non-musiciens) ? Pourquoi aussi Z12 (12 divisions équidistantes de l'octave = le demi-ton tempéré) en 300 ans c'est imposé au détriment des autres modes ? Pourquoi est-il tant difficile de sortir de Z12 ? Pourquoi toutes les autres échelles autres que Z12 sonnent faux ? [3], etc.
Ce que nous proposons ici à la suite de ceux cités supra : à partir d'une exploration systématique des échelles et de leurs propriétés (puis de l'arrangement modal et de leur transposition en gammes, etc.), est d'extraire un système ouvert pluridimensionnel en fonction de nos découvertes. Nous sommes avides d'ajouter un nombre de sonorités nouvelles et d'y naviguer au prorata du nombre de combinaisons d'intervalles possibles, c'est-à-dire à l'infini : sans fermeture pour découvrir d'autres sensations. Nous nous orienterons plus vers la prospection des échelles asymétriques inouïes avec et sans redondance (cycliques et non-cycliques) où les intervalles basiques de la série harmonique seront évités : leur forte prégnance fait masque aux autres encore inconnus. Nous essaierons de retirer le voile aux à priori simplistes de la perception de « hauteurs absolues » pour proposer une mobilité permanente dans les connexions systémiques des hauteurs qui ne le deviendront plus par leurs multidimensionnalités [4] [5].
A quoi sert cette architecture mouvante que nous nommons pompeusement Champs des Systèmes Scalaires (Scalar System Fields) ? A créer des tapis mouvants de jeux, pratiques pour la composition musicale immédiate asystémique afin d'entendre puis d'écouter d'autres choses dans la délectation.
Pourquoi utiliser en musique d'autres échelles que les 12 degrés (tons) tempérés adoptés depuis le XVIIe siècle, nommés aussi « gamme chromatique » qui inclut le « mode majeur » pour lequel toute notre notation et attention musicale occidentale lui est consacrée ? Le « mode majeur » à 7 degrés comme son nom l'indique reste dominant : il inclut le mode « barbare » pentatonique à 5 degrés utilisé dans différents accords par différentes cultures de la planète. Les « modes mineurs » sont des « altérations » du mode majeur : des ersatz. Pourquoi lui adjoindre d'autres modes pour lui retirer sa domination ? Tout lui est destiné : le nom de ses notes (do ré mi fa sol la si do ou A B C D E F G), la notation sur la portée de 5 lignes avec ses clefs. Pourquoi évoluer ce système dominant qui est utilisé depuis plus de 300 ans ? Envoyez-moi vos réponses s.v.p.
Nos consciences évoluent (par la force de l'âtre) de l'uni au pluri, de l'universel au pluriversel : c'est une préparation à la future organisation de l'humanité qui passe par la musique, où « un seul ne gouvernera plus tous ». Causes et effets ne sont pas uniques, mais multiples (je poursuis ce que Gilles Deleuze posa comme jalon et d'autres avant comme Nietzsche ou Spinoza). L'évolution de notre système à domination vers un système qui permet le choix, qui permet à chacun de choisir. Ces choix possibles qui ouvrent nos esprits à la multiplicité pour cultiver notre intelligence et non à la bêtifier dans la domination par l'unicité. Nous savons maintenant que la domination est un frein à la culture de notre intelligence humaine et l'évolution de l'humanité ne peut pas être maintenue à l'arrêt.
Aujourd'hui, le piano n'est plus l'instrument de musique universel clamé au XIXe siècle. L'échantillonneur numérique l'a surpassé. Et, pour la première fois dans notre histoire humaine, les spéculations théoriques sur les gammes sont devenues accessibles à l'audition dans l'immédiat; sans être obligé de construire ni de calculer un instrument de musique approprié. Les instruments de musique numériques (pas tous malheureusement) invitent à d'autres tempéraments, d'autres modes avec l'aisance qui n'existait pas avant le DX7 II (synthétiseur de synthèse par modulation de fréquence développée par John Chowning et réalisé par la compagnie japonaise Yamaha en 1983). Dans ces pages nous vous donnons la possibilité de « goûter » aux échelles non-octaviantes avec vos instruments de musique numériques qui le permettent.
Mais, l'utilisation de telle ou telle échelle (mode, gamme) dépend fortement du contexte musical et du rendu désiré et visé. C'est l'échelle qui s'adapte au contexte du possible de l'instrument de musique bien que le contraire doit être envisageable pour l'évolution de ces instruments. Aussi l'utilisation d'autres échelles (modes, gammes) demande un entrainement pour la mémorisation, la correspondance et l'émission musicale (je pense au champ de liberté de la voix). Une échelle (ou plusieurs ou son champ de systèmes scalaires) peut se trouver appropriée pour tel contexte instrumental et inapproprié pour un autre. Exemple. Je voulais me rendre compte si la limite de perception des différences évaluée par Carillo à 1/16e de ton et par Wyschnegradsky à 1/12e de ton pouvait se vérifier au-delà. J'expérimentais l'échelle de 1/17e de ton avec un sinus accordé à 440Hz. Le résultat qui m'interpella fut de me focaliser sur une variété de battements dans différents accords où les différences sont audibles. Et 1/17e de ton parait grossier dans ce contexte qu'il est possible d'affiner. Une échelle aux intervalles progressifs devient nécessaire afin d'accorder les vitesses de battements des fréquences basses (plus lentes) à celles aigües (plus rapides). Dans quel autre contexte peut cette échelle être adaptée ? Téléchagez ce prêt-à-musique pour le sampler Kontakt2 (multi 13Ko) : un prêt-à-musique libre de droit à ne pas utiliser tel quel mais à personnaliser, et envoyez-moi vos adaptations audibles.
Notes
[1] La représentation harmonique (puis spectrale) de la superposition des sons simples est la suite logique de la pensée d'Aristote puis des polyphonistes de la « renaissance » et de la pensée exacte de Jean-Philippe Rameau « des lumières », qu'il développe dans son traité : « Nouvelles réflexions sur le principe de l'harmonie » en 1752 ou 1722. La décomposition d'un son complexe en plusieurs sons simples de Fourier (des sinus pour la représentation FFT : Fast Fourier Transform) où chaque fréquence sonique coïncide à une ligne et la superposition de ces lignes forme un spectre de fréquences harmonique ou non (un ensemble de fréquences distinctes qui caractérisent en partie la reconnaissance possible de ce son : mais cette représentation sonique des fréquences vibratoires reste incomplète pour permettre une reconnaissance de ce son. Citons pour exemple les programmes ou synthétiseurs de resynthèse spectrale d'un échantillon sonique enregistré : le son resynthétisé ne ressemble pas au son enregistré, mais l'imite.). Ce type de conception à permis d'imaginer la synthèse additive dont le premier instrument résultant est l'orgue jusqu'aux différentes synthèses analogiques d'hier et numériques d'aujourd'hui. Dans notre idée des Champs des Systèmes Scalaires (Scalar System Fields), les synthèses se fondent dans leurs scalérisations multidimensionnelles et perpétuellement mobiles.
[2] La première incursion dans le micro-intervalle occidentale s’est produite dans la continuité de la division tempérée de l’octave (rappel : le tempérament permet la modulation dans différentes tonalités en altérant et ajustant les intervalles harmoniques afin qu’ils puissent se correspondre à différents registres cela par une division exacte de l’octave). Des précurseurs comme Haba, Carillo et Wyschnegradsky cités par Jean Etienne Marie ont continué la division du ton tempéré : du ton entier jusqu’au 1/16e de ton (considéré comme le plus petit intervalle de hauteur perceptible pour les oreilles fines et entraînées). [Nous savons que la distinction du plus petit intervalle dépend de la texture du son. Avec certains sons la perception d’un intervalle reste floue ou difficilement discernable alors qu'avec d’autres il se distingue très bien. C'est une proportion entre la densité sonique d'un son et le plus petit intervalle de hauteur détectable. Ces derniers sont retenus pour la distinction des intervalles de l’échelle et les autres pour former des amas ou agrégats de masses sonores pour un jeu toujours sur la sonorité.]
[3] nous pourrions déjà répondre à ces trois dernières questions : le système tonal est d'une grande souplesse et permet des modulations et des transpositions (des changements de sonorités dans le système d'une même et unique échelle : Z12) que le dodécaphonisme par exemple ne permet pas, malgré ses innombrables combinatoires il n'a qu'une sonorité. Le système tonal permet l'atonalité dont elle fait partie ainsi que le dodécaphonisme de Schoenberg et la gamme par ton de Debussy, même les modes à transpositions limitées de Messian sont inclus dans le système tonal et tous les essais d'accords de l'échelle Z12 de Pythagore, Zarlino, mesotonic, Werkmeister, Salinas, Kirnberger, Rameau, etc. dont aucun ne touche à la "stabilité" sonnante du mode majeur. Si Z12 règne toujours c'est que l'on a pas trouvé mieux à sa souplesse opérationnelle fermée : un système qui permet de moduler de transformer, de transposer, etc., d'échelles, de modes, de gammes pour développer un grand nombre de sonorités scalaires sur lui-même (qui compte 3301 modes de 5 à 12 tons) et dont chacun tourne autour sans s'en détacher. Nous nous efforçons de proposer ici avec nos Champs des Systèmes Scalaires (Scalar System Fields) une ouverture. Au-delà d'un système de « hauteurs » tonales fixes, nous désirons un métasystème mouvant de forces centripètes et centrifuges multiples. Si les autres échelles autres que Z12 nous « sonnent fausses » c'est bien à cause de 300 années de culture univoque dans un système devenu autoritaire par autocratie (qui se retrouve dans le système même, avec des mots comme « dominante », « sous-dominante », « sensible », etc.).
[4] nous avons plus d'une trentaine d'années d'exploitation exploratoire d'échelles inouïes désystématisées, mais tout comme nos prédécesseurs, nous n'avons pu insuffler un intérêt pour ces recherches à sonner autrement (la résistance des habitudes). Même avec l'apport de l'informatique, les possibles restent faibles et à l'état de bricolage et de bidouillage : en trente années il n'a existé aucun programme de construction de systèmes ouverts d'échelles en temps réel pour la composition musicale, malgré quelques essais inachevés. Ce type de programme permettrait un accès aisé et articulé à travers divers systèmes actifs au monde interactif des échelles, modes, gammes de hauteurs toujours en mouvement grâce à ses nouvelles opérations en interaction suivant les qualités sonores des sons mis en mouvement et que nous tentons de découvrir ici. Notons que Harry Partch (1901-1976) est le compositeur connu qui poussa le plus loin la réalisation d'un autre système de hauteurs avec son orchestre d'instruments dédiés.
[5] Nous ne ferons pas une incursion dans les mathématiques profondes pour devenir incompréhensibles au musicien. L'avantage de la musique est l'expérimentation immédiate sonore des calculs spéculatifs et exploratoires. Et nous tiendrons tout le long de nos explorations à rester un homme musical.
1re exploration
LA FORME DIVISIONNAIRE DE L'OUTIL
Mettre en question le principe opératoire
La forme opératoire est l'outil qui permet l'exploration et la représentation de la découverte. Mais la découverte est intimement liée à l'outil qui l'a découvre. Nous voulons dire que la forme de ce qui est découvert aura obligatoirement la forme de l'outil qui le découvre. C'est en ce sens qu'il est important de multiplier des outils différents pour une même tâche afin de se rendre compte des résultats différents de la même découverte. Exemple l'outil : division (qui est un opérateur). Nous constatons que la superposition de divisions par la suite des entiers { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16} donne une forme identifiable, en miroir (symétrique) unique. Quel que soit le nombre de divisions, la forme reste identique. Cela confirme qu'une suite d'entiers divisant ne donne pas un résultat linéaire. Pourtant, cette forme opératoire est utilisée pour tous les éléments de la musique : la division des intervalles de « hauteurs », la détection les échelles tempérées, la formation des intervalles de durée : des valeurs rythmiques rationnelles (tels que : le duolet, triolet, quartolet, quintolet, sextolet, septolet, etc., ou la métrique avec ses mesures à 2, 3, 4, 5, 6, 7 temps, etc.). Ces divisions opératoires servent aussi à localiser les positions des harmoniques sur une corde ou un tube, etc. Elle fait tout, mais les divisions paires, impaires ou premières (par les nombres premiers) donnent des résultats différents dans sa même forme donnée [1] :
La représentation de la forme géométrique de la division n'est pas équidistante comme nous aurions tendance à le penser des expériences perceptives. Plus les divisions sont grandes plus elles sont resserrées entres elles. C'est une forme unique qui donne à percevoir dans le même sens. Notre question est : y a-t-il d'autres formes divisionnaires ? Et si oui comment sont-elles percevables dans un même contexte ? Comment peut-on les représenter ? Nos perceptions exponentielles peuvent-elles avoir une différence (-), un inverse (1/x) et un inverse de la différence (-1/x) par exemple, pour rester dans le domaine des opérations simples ?
...
Notes
[1] La division au milieu (:2) dans une octave correspond à
l’intervalle de 3 tons (6 ½ tons) plus connu sous le nom
de triton ou de quarte augmentée (4te+) ou quinte diminuée
(5te-) ou « diabolus in musica » dont l’usage
était prohibé au XIVe et XVe siècle par
l’Eglise catholique. Cette division « dans le milieu »
se retrouve à chaque division paire de l’intervalle.
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- Afin d'écouter nos exploration d'échelles, nous utilisons le programme multiplateforme Scala dont ses fichiers prennent le suffixe : .scl. Avec le « relaying » de Scala chacun peut jouer et écouter en temps réel (avec un clavier et une interface MIDI) les échelles téléchargées. Scala est un freeware téléchargeable à http://www.huygens-fokker.org/scala. Ce programme en outre exporte les échelles, modes et gammes vers un très grand nombre d'instruments de musique électronique. Nous mettons aussi à disposition les tuning script pour celles et ceux qui possèdent le sampler Kontakt 2 de chez Native Instruments. -
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2de exploration : du connu vers l'inconnu 1
A LA RECHERCHE DES ECHELLES NON-OCTAVIANTES
Quelle est la particularité des échelles non-octaviantes ?
La sensation de la non-finité de la musique : il n'y a pas d'octave qui donne le sentiment de stopper sa progression.
La désoctaviation des échelles non-octaviante rend inutile le rôle de la note sensible qui oblige à une résolution dans le ton de l'octave. Dans le système tonal voire sériel de la division équidistante de l'octave, les transpositions des modes, des séries (donnant les différentes gammes du mode) sur l'échelle octaviante « tournent » sur elles-mêmes : dans le modulo à l'intérieur de l'octave qui est le principe de la combinatoire, même si les intervalles sont doublés ou triplés sur deux ou trois octaves, voire plus. Ils reviennent toujours sur la position initiale du ton qu'oblige la sensible. C'est le principe du tempérament cyclique où chaque identité se retrouve à différents étages de la transposition puis à la cadence, dans la résolution harmonique de l'octave de la tonalité (du ton de la fondamentale). Sans que la forme du mode change. Dans le système non-octaviant, il n'y a pas de sensation de retour à la case départ et les formes des modes peuvent changer dans leurs transpositions. Rien n'oblige à revenir à son point de départ pour terminer sa révolution musicale. L'attraction de l'octave « trou noir » est absente du système non-octaviant et permet des évolutions multiples. Du possible supplémentaire.
À la suite des précurseurs explorateurs des microtonalités (Carillo, Haba, Wyschnegradsky suivit par Marie), nous poursuivons, approfondissons et relions l'exploration de nouvelles échelles à partir de la division du ton qui sera suivi par la division de l'octave (Partch) pour nous enfoncer plus loin dans la découverte d'échelles non-octaviantes [1] asymétriques ou ayant des propriétés jusque-là inconnues pour former une « carte » d'un réseau de liaisons (scalar-system-field) qui permettra de « voyager dans ces contrés encore inconnues » (autres musiques).
Je ne saurais dire pourquoi l'exploration des micro-intervalles en Europe a débuté avec la division du ton. Toutes les déclinaisons de micro-intervalles sont nommées par les fractions du ton. Avec Harry Partch sur la côte ouest des États-Unis et à partir du livre d'Hermann Helmholtz (On the Sensation of Tone)*, il décline ses micro-intervalles à partir de rapports (fractions) de la division des cordes. Le système des micro-intervalles d'Harry Partch est harmonique** contrairement au système des Européens Haba et Wyschnegradsky qui est tempéré (bien que Wyschnegradsky tend à concilier les deux). Le système (antérieur aux deux autres) du mexicain Carillo se situerait entre les deux, quoi qu'il nomme ses divisions d'échelles par des fractions du ton.
Notes
[1] ne pas confondre, mais issu à la suite des « espaces non-octaviants » (vers 1932) d'Ivan Wyschnegradsky (1893 - 1979) : « Un espace non-octaviant est un espace dans lequel l'intervalle de l'octave, qui depuis les temps les plus reculés avait délimité la périodicité de l'espace, se trouve soit contracté soit dilaté d’une ou plusieurs unités spatiales, de sorte que la fonction qui traditionnellement incombait à l'octave naturelle, est reportée sur des octaves modifiées » Ivan Wyschnegradsky cité par Franck Jedrzejewski dans son Dictionnaire des musiques microtonales. L'idée d'échelles sans octave n'est pas nouvelle. Dans la technique d'écriture sérielle les compositeurs (Messian, Boulez, Riotte, etc.) utilisaient l'opération de modulo (cycle) pour retirer à l'octave sa primeur : au lieu d'un modulo 12 ils posaient d'autres modulo, mais toujours dans le champ de Z12 : « éviter l'octave c'est se libérer de la domination de la tonalité » qui reste sous-jacente en utilisant l'échelle Z12 ou autres divisions de l'octave. Ici avec le terme « échelle non-octaviante » nous ignorons, évitons volontairement l'ambitus d'octave « trou noir » et fouillons dans des asymétries subtiles (« Une des conséquences immédiates de la révolution ultrachromatique est l'incorporation au langage musical des sons harmoniques supérieurs inconnus dans le système tempéré des 12 demi-tons. » Ivan Wyschnegradsky, La Revue Musicale 290-91) pour élargir le champ des possibles (nous avons définitivement quitté Z12) à la découverte de ce que nous ne connaissons pas : d'autres sonorités d'échelles aux propriétés transitionnelles : pour des glissements progressifs de sonorités à d'autres : une toile élastique d'échelles en mouvements.
* La traduction « poétique » de Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik (Sur la sensation de ton comme base physiologique pour la théorie musicale) titre qui ne sonne pas en français ? fut publiée sous le titre Théorie physiologique de la musique, ne lui laissa aucune chance d'attirer l'intérêt des acousticiens ni des compositeurs. La traduction anglaise donna à Harry Partch l'outil nécessaire pour construire ses échelles originales.
** L'intonation juste (just intonation) lui est pérennisée [téléchargez ses 13 échelles au format .scl] puisque des compositeurs de la génération suivante tels que La Monte Young et Ben Jonhston (qui fut son élève) ont continué la division entière des rapports de fréquences du système harmonique pythagoricien transmit par Hermann Helmholtz. Ben Jonhston l'adapta à son écriture sérielle (décrit dans son article : Rational Structure in Music en 76) et La Monte Young à son écriture minimaliste de « drone » (bourdon). Cette adhésion à l'intonation juste des compositeurs américains s’est inscrite en réaction aux compositeurs européens utilisant le « tempérament juste ». Aujourd'hui le mouvement élargi est rassemblé sur le réseau Internet sous l'appellation : The Just Intonation Network à http://www.justintonation.net (fermé fin 2011). L'intonation juste est définie comme telle : un système d'accordage dans lequel les intervalles sont représentés par des rapports de nombres entiers. L’« intonation juste » utilise l'opération division simple [/] et le « système tempéré » l'opération racine [√] : une division en puissance. Aujourd'hui cette position n'a plus vraiment de sens puisque personne à l'oreille n'attache d'importance à déterminer si un intervalle fait partie du camp de l'intonation juste ou du camp du tempérament juste : les camps aujourd'hui se sont mélangés pour découvrir autre chose où il suffit de s'accorder.
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LES ECHELLES MULTIPLES DU TON
200 cents ou 1,12246... = 6√2 = 21/6 = 1,1224620483093729814335330496792
Une division équidistante du ton correspond toujours à un nombre de hauteurs par octave :
Une division équidistante du ton par les nombres entiers (1; 2; 3; etc.) correspond à un nombre de hauteurs paires par octave et génère des intervalles redondants :
| nom | description | rapport | quantification en cent | |||||
| 1 ton | <=> | 6 hauteurs par octave | <=> | 21/6 | = 6√2 = 1,12246 | <=> | 200 cents | |
| 1/2 ton | <=> | 12 hauteurs par octave | <=> | 21/12 | = 12√2 = 1,05946 | <=> | 100 cents | |
| 1/3 ton | <=> | 18 hauteurs par octave | <=> | 21/18 | = 18√2 = 1,03926 | <=> | 66,67 cents | download .scl file |
| 1/4 ton | <=> | 24 hauteurs par octave | <=> | 21/24 | = 24√2 = 1,0293 | <=> | 50 cents | download .scl file |
| 1/5 ton | <=> | 30 hauteurs par octave | <=> | 21/30 | = 30√2 = 1,02337 | <=> | 40 cents | download .scl file |
| 1/6 ton | <=> | 36 hauteurs par octave | <=> | 21/36 | = 36√2 = 1,01944 | <=> | 33,34 cents | download .scl file |
| 1/7 ton | <=> | 42 hauteurs par octave | <=> | 21/42 | = 42√2 = 1,01664 | <=> | 28,57 cents | download .scl file |
| 1/8 ton | <=> | 48 hauteurs par octave | <=> | 21/48 | = 48√2 = 1,01455 | <=> | 25 cents | download .scl file |
| 1/9 ton | <=> | 54 hauteurs par octave | <=> | 21/54 | = 54√2 = 1,01292 | <=> | 22,23 cents | download .scl file |
| 1/10 ton | <=> | 60 hauteurs par octave | <=> | 21/60 | = 60√2 = 1,01162 | <=> | 20 cents | download .scl file |
| 1/11 ton | <=> | 66 hauteurs par octave | <=> | 21/66 | = 66√2 = 1,01056 | <=> | 18,18 cents | download .scl file |
| 1/12 ton | <=> | 72 hauteurs par octave | <=> | 21/72 | = 72√2 = 1,00967 | <=> | 16,67 cents | download .scl file |
| 1/13 ton | <=> | 78 hauteurs par octave | <=> | 21/78 | = 78√2 = 1,00893 | <=> | 15,38 cents | download .scl file |
| 1/14 ton | <=> | 84 hauteurs par octave | <=> | 21/84 | = 84√2 = 1,00829 | <=> | 14,28 cents | download .scl file |
| 1/15 ton | <=> | 90 hauteurs par octave | <=> | 21/90 | = 90√2 = 1,00773 | <=> | 13,34 cents | download .scl file |
| 1/16 ton | <=> | 96 hauteurs par octave | <=> | 21/96 | = 96√2 = 1,00725 | <=> | 12,5 cents | download .scl file |
| 1/17 ton | <=> | 102 hauteurs par octave | <=> | 21/102 | = 102√2 = 1,00682 | <=> | 11,7647 cents | download .scl file |
| ... | ||||||||
. La division du ton correspond à une progression de 6 en 6 du nombre des degrés divisant l'octave.
. La division de l'octave est toujours paire dans la division du ton même par des nombres premiers.
. Les premières incursions dans la microtonalité ce sont faites à travers la division du ton (Carillo, Wyschnegradsky)
. L'écoute peut s'affiner au-delà de 1/16e de ton. Bien que pour Carillo, le 1/16e de ton est la limite perceptive du plus petit intervalle. Mais la limite perceptive dépend du contexte : de la forme perceptive audible précise, distincte, ambigue, floue ou impossible (Cf. la hauteur un problème d'élévation).
représentation graphique des 15 premières échelles divisant le ton sur l'ambitus d'un octave :
. On reconnait la forme particulière de l'outil divisionnaire.
. On divise d'abord 16 fois (on peut plus) puis on multiplie ensuite à chaque fois : ce qui donnera un scalage (striage du temps) 2D (d'abord en 2 dimensions). Le début d'une déambulation dans une toile (voire plusieurs) d'échelles connectées : l'amorce du scalar-system-field multidimensionnel.Ce qui nous intéresse : remultiplier ces intervalles par les nombres entiers (1; 2; 3; 4; etc.) afin de trouver des divisions non symétriques pour découvrir d’autres échelles uniques bien qu'elles soient multiples des échelles divisant le ton et, s'extrayant des intervalles-gouffres tels que l'octave, la quinte ou la quarte. Le procédé du connu vers l'inconnu.
représentation graphique des 15 divisions du ton et son projet de projection :
Nous allons explorer les 8 échelles divisant le ton (de 1/16e de ton à 1/9e de ton) et découvrir leur projections non-octaviantes.
Les échelles de 1/8e à 1/2 ton sont inculses dans les précédentes.
Commençons d'abord avec l'échelle de 1/16e de ton
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/16e DE TON
nommable aussi Z96 (à la suite de Pierre Barbaud qui nomma l'échelle chromatique de 12 tons Z12) :
1. multiples de 1/16e de ton
16√(6√2) = 96√2 = 21/96 = 1,0072464122237038980903435690978...
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 16) 1/16 pour obtenir ses 16 échelles multiples :
nom rapport quant. en cent propriété 1 Echelle de 1/16e de ton (21/96)1 = 1,00725 <=> 12,5 cents symétrique octaviante = 96√2 2 Echelle de 1/8e de ton (21/96)2 = 1,0145526 <=> 25 cents symétrique octaviante = 48√2 3 Echelle de 3/16e de ton (21/96)3 = 1,02191 <=> 37,5 cents symétrique octaviante = 32√2 download .scl file 4 Echelle de 1/4 de ton (21/96)4 = 1,02932 <=> 50 cents symétrique octaviante = 24√2 5 Echelle de 5/16e de ton (21/96)5 = 1,03678 <=> 65,5 cents symétrique non-octaviante 6 Echelle de 3/8e de ton (21/96)6 = 1,0443 <=> 75 cents symétrique octaviante = 16√2 download .scl file 7 Echelle de 7/16e de ton (21/96)7 = 1,05187 <=> 87,5 cents symétrique non-octaviante 8 Echelle de 1/2 de ton (21/96)8 = 1,05946 <=> 100 cents symétrique octaviante = 12√2 9 Echelle de 9/16e de ton (21/96)9 = 1,06717 <=> 112,5 cents symétrique non-octaviante 10 Echelle de 5/8e de ton (21/96)10 = 1,07491 <=> 125 cents symétrique non-octaviante 11 Echelle de 11/16e de ton (21/96)11 = 1,08448 <=> 137,5 cents symétrique non-octaviante 12 Echelle de 3/4 de ton (21/96)12 = 1,09055 <=> 150 cents symétrique octaviante = 8√2 download .scl file 13 Echelle de 13/16e de ton (21/96)13 = 1,09846 <=> 162,5 cents symétrique non-octaviante 14 Echelle de 7/8e de ton (21/96)14 = 1,10642 <=> 175 cents symétrique non-octaviante 15 Echelle de 15/16e de ton (21/96)15 = 1,11445 <=> 187,5 cents symétrique non-octaviante 16 Echelle de ton (21/96)16 = 1,12253 <=> 200 cents symétrique octaviante = 6√2 . remarque 1 : Echelle de ton <=> 21/6 = 1,12246 contre 1,12253 pour (21/96)16 prouve la relativité de l’exactitude des chiffres pour l’échelle de ton mieux connue sous le nom de "gamme par ton" et attachée à Debussy. Cette échelle à la sonorité si particulière.
. remarque 2 : il n'y a pas d'échelle asymétrique non-octaviante et d'échelle asymétrique octaviante dans les "projections" de Z96 ou les 16 échelles multiples de 1/16e de ton.
Graphe des 16+1 premières échelles multiples de 1/16e de ton :
. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 8 degrés.
. Toutes les échelles multiples de 1/16e de ton répètent un cycle d'un intervalle inclus dans Z12.
. Dans cette famille, l'échelle chromatique (Z12) et par ton (Z6) répètent un cycle de 8 degrés et non de 12 et 6.
. Ces échelles octotoniques, répétant un cycle de 8 degrés reconnaissent un centre de symétrie dans leurs divisions et sont donc toutes symétriques.
Nous avons 8 échelles premières non-octaviantes multiples de l’échelle d’1/16e de ton :telles que les échelles de :
nom quantification en cent rapport 5/16e de ton 62,5 cents 1,03678... 7/16e de ton 87,5 cents 1,05187... 9/16e de ton 112,5 cents 1,06717... 5/8e de ton 125 cents 1,07491... 11/16e de ton 137,5 cents 1,0827... 13/16e de ton 162,5 cents 1,09846... 7/8e de ton 175 cents 1,10642... 15/16e de ton 187,5 cents 1,11445... 8 échelles cycliques symétriques non-octaviantes multiples de l’échelle 1/16e de ton (12,5 cents) 96√2=1,00725.
Graphe des 8 échelles cycliques symétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/16e de ton :
Même si la symétrie de l'octave par l'existence du triton (4te+) n'apparait pas, ces échelles divisent un cycle par un nombre pair et donc reconnaissent un centre de symétrie dans leurs divisions. Elles sont symétriques, car elles possèdent un degré central (le pli) où la demi-échelle miroir correspond à la demi-échelle projetée.
Propriétés de ces 8 échelles non octaviantes multiples de 1/16e de ton (12,5 cents ou 96√2=1,00725) :
1. L'échelle 5/16e de ton (62.5 cents) divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de septième mineur (2 . 4te) et octave+3ce mineure (3 . 4te), etc. : 5/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 19e degré, même si celui-ci est plus petit (1187,5 cents).
0: 0 unisson
1: 62,5 cents
2: 125 cents
3: 187,5 cents
4: 250 cents
5: 312,5 cents
6: 375 cents
7: 437,5 cents
8: 500 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp2. L'échelle 7/16e de ton (87.5 cents) divise l'intervalle de quinte (700 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+2de majeur (2 . 5te), etc. : 7/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 5te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 14e degré, même si celui-ci est plus grand (1225 cents).
0: 0 unisson
1: 87,5 cents
2: 175 cents
3: 262,5 cents
4: 350 cents
5: 437,5 cents
6: 525 cents
7: 612,5 cents
8: 700 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp3. L'échelle 9/16e de ton (112.5 cents) divise l'intervalle de sixte majeure (900 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+4te+ (2 . 6teM), etc. : 9/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6teM et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 11e degré, même si celui-ci est plus grand avec battement (1237,5 cents).
0: 0 unisson
1: 112,5 cents
2: 225 cents
3: 337,5 cents
4: 450 cents
5: 562,5 cents
6: 675 cents
7: 787,5 cents
8: 900 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp4. L'échelle 5/8e de ton (125 cents) est inclus (et multiple par 2) dans l'échelle 5/16e de ton. 5/8e de ton divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 4 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de septième mineur (2 . 4te) et octave+3ce mineure (3 . 4te), etc. : 5/8e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 10e degré, même si celui-ci est plus grand (1250 cents contre 1200).
0: 0 unisson
1: 125 cents
2: 250 cents
3: 375 cents
4: 500 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp5. L'échelle 11/16e de ton (137.5 cents) divise l'intervalle de septième majeur (1100 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+septième mineur (2 . 7eM), etc. : 11/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 7eM et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 9e degré, même si celui-ci est plus grand avec battement (1237,5 cents).
0: 0 unisson
1: 137,5 cents
2: 275 cents
3: 412,5 cents
4: 550 cents
5: 687,5 cents
6: 825 cents
7: 962,5 cents
8: 1100 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp6. L'échelle 13/16e de ton (162.5 cents) divise l'intervalle d'octave et seconde mineure (1300 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de deux octaves+seconde majeur, etc. : 13/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2dem et ses multiples. Aucune prégnance d'intervalles connus trop importante.
0: 0 unisson
1: 162,5 cents
2: 325 cents
3: 487,5 cents
4: 650 cents
5: 812,5 cents
6: 975 cents
7: 1137,5 cents
8: 1300 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp7. L'échelle 7/8e de ton (175 cents) est inclus (et multiple par 2) dans l'échelle 7/16e de ton. 7/8e de ton divise l'intervalle de quinte (700 cents) en 4 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+2de majeur (2 . 5te), etc. : 7/8e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 5te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 7e degré, même si celui-ci est plus grand (1225 cents).
0: 0 unisson
1: 175 cents
2: 350 cents
3: 525 cents
4: 700 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp8. L'échelle 15/16e de ton (187.5 cents) divise l'intervalle d'octave et tierce mineur (1500 cents) en 8 intervalles équidistants. Aucune prégnance d'intervalles connus trop importante.
0: 0 unisson
1: 187,5 cents
2: 375 cents
3: 562,5 cents
4: 750 cents
5: 937,5 cents
6: 1125 cents
7: 1312,5 cents
8: 1500 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkprécapitulation :
rang nom ambitus (intervalle) divisé division par octaviation 1 5/16e de ton 500 cents 4te 8 au 19e degré : 1187 contre 1200 cents 2 7/16e de ton 700 cents 5te 8 au 14e degré : 1225 contre 1200 cents 3 9/16e de ton 900 cents 6te M 8 au 11e degré : 1237 contre 1200 cents 4 5/8e de ton 500 cents 4te 4 au 10e degré : 1250 contre 1200 cents 5 11/16e de ton 1100 cents 7e M 8 au 9e degré : 1237 contre 1200 cents 6 13/16e de ton 1300 cents 8ve+2de m 8 7 7/8e de ton 700 cents 5te 4 au 7e degré : 1225 contre 1200 cents 8 15/16e de ton 1500 cents 8ve+3ce m 8
Remarques :
Les 8 premières échelles non-octaviantes de l'ensemble Z96 (1/16e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles pairs par 8 ou 4. Le cycle est toujours un intervalle élément de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les intervalles « passages » sont la 4te, la 5te, la 6te M, la 7e m, la 7e M, l'8ve+2de m, l'8ve+2de M et l'8ve+3ce m. La prégnance de l'octave dans 6 échelles sur 8 reste forte (malgré la non-octaviation numérique) : l'octave a une force d'attraction perceptive comparable à un trou noir qui aspire le perceptible et fait masque : les micro-intervalles satellitaires sont engloutis dans sa présence. Nous verrons quoi faire plus tard avec les échelles 13/16e de ton (162.5 cents) et 15/16e de ton (187.5 cents).
PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE
transitions (pas transposition) d'échelles dans Z96
Le passage se fait lorsqu'il y a connexion pour une correspondance, c'est-à-dire un élément commun à deux ou plusieurs échelles : un unisson. Bien sûr le passage peut se faire par « saut » sans la nécessité d'un élément commun ou d'une connexion : par acrobatie.
Correspondances :
Voici les 31 premières correspondances entre les 8 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z96 qui permettent la transition d'une échelle à une autre par au moins un élément commun (lignes grisées horizontales dans le graphe).
01. 2 . 5/16e & 1 . 5/8e
02. 2 . 7/16e & 1 . 7/8e
03. 3 . 5/16e & 1 . 15/16e
04.. 4 . 5/16e & 2 . 5/8e
05. 4 . 7/16e & 2 . 7/8e
06. 6 . 5/16e & 3 . 5/8e & 2 . 15/16e
07. 7 . 5/16e & 5 . 7/16e (2 échelles côte à côte dans un 7 pour 5)
08. 4te pour 8 . 5/16e & 4 . 5/8e
09. 6 . 7/16e & 3 . 7/8e
10. 9 . 5/16e & 5 . 9/16e & 3 . 15/16e
11. 10 . 5/16e & 5 . 5/8e
12. 11 . 5/16e & 5 . 11/16e (5te - 1/16e)
13. 5te pour 8 . 7/16e & 4 . 7/8e
14. 12 . 5/16e & 6 . 5/8e & 4 . 15/16e
15. 9 . 7/16e & 7 . 9/16e (2 échelles côte à côte dans un 9 pour 7)
16. 6 . 11/16e & 5 . 13/16e (2 échelles côte à côte dans un 6 pour 5)
17. 14 . 5/16e & 10 . 7/16e (2 échelles côte à côte dans un 14 pour 10) & 7 . 5/8e & 5 . 7/8e (6te M - 1/8e de ton)
18. 15 . 5/16e & 5 . 15/16e
19. 11 . 7/16e & 7 . 11/16e
20. 7em pour 16 . 5/16e & 8 . 5/8e
21. 12 . 7/16e & 6 . 7/8e
22. 18 . 5/16e & 10 . 9/16e & 9 . 5/8e (2 échelles côte à côte dans un 10 pour 9) & 6 . 15/16e
23. 13 . 7/16e & 7 . 13/16e
24. 14 . 7/16e & 7 . 7/8e
25. 11 . 9/16e & 9 . 11/16e
26. 20 . 5/16e & 10 . 5/8e
27. 21 . 5/16e & 15 . 7/16e (2 échelles côte à côte dans un 21 pour 15) & 7 . 15/16e
28. 22 . 5/16e & 11 . 5/8e & 9 . 11/16e (2 échelles côte à côte dans un 11 pour 9)
29. 8ve+2deM pour 16 . 7/16e & 8 . 7/8e
30. 13 . 9/16e & 9 . 13/16e
31. 8ve+3cem pour 24 . 5/16e & 12 . 5/8e & 8 . 15/16
La réunion des correspondances donne le mode suivant (rappel : 1/16e de ton <=> 12,5 cents) :
degré x/16e de ton cents nom des
intervalles dans Z12points de correspondances nombre de correspondances 0 1 0 origine 1 8 1 10/16e 125 2×5/16e & 5/8e 2 2 14/16e 175 2×/16e & 7/8e 2 3 15/16e 187,5 3×5/16e & 15/16e 2 4 20/16e 250 4×5/16e & 2×5/8e 2 5 28/16e 350 4×7/16e & 2×7/8e 2 6 30/16e 375 6×5/16e & 3×5/8e & 2×15/16e 3 7 35/16e 437,5 7×5/16e & 5×7/16e c.à.c 7 pour 5
2 8 40/16e 500 4te 8×5/16e & 4×5/8e 2 9 42/16e 525 6×7/16e & 3×7/8e 2 10 45/16e 562,5 9×5/16e & 5×9/16e & 3×15/16e 3 11 50/16e 625 10×5/16e & 5×5/8e 2 12 55/16e 687,5 11×5/16e & 5×11/16e 5te - 1/16e 2 13 56/16e 700 5te 8×7/16e & 4×7/8e 2 14 60/16e 750 12×5/16e & 6×5/8e & 4×15/16e 3 15 63/16e 787,5 9×7/16e & 7×9/16e 9 pour 7
2 16 66/16e 825 6×11/16e & 5×13/16e 6 pour 5
2 17 70/16e 875 14×5/16e & 10×7/16e 14 pour 10
& 7×5/8e & 5×7/8e 6teM-1/8e ton4 18 75/16e 937,5 15×5/16e & 5×15/16e 2 19 77/16e 962,5 11×7/16e & 7×11/16e 2 20 80/16e 1000 7e m 16×5/16e & 8×5/8e 2 21 84/16e 1050 12×7/16e & 6×7/8e 2 22 90/16e 1125 18×5/16e & 10×9/16e & 9×5/8e
10 pour 9 & 6×15/16e4 23 91/16e 1137,5 13×7/16) & (7×13/16) 2 24 98/16e 1225 14×7/16e & 7×7/8e 2 25 99/16e 1237,5 11×9/16e &e 9×11/16e 2 26 100/16e 1250 20×5/16e & 10×5/8e 2 27 105/16e 1312,5 21×5/16e & 15×7/16e 21 pour 15 & 7×15/16e 3 28 110/16e 1375 22×5/16e & 11×5/8e & 9×11/16e
11 pour 93 29 112/16e 1400 8ve+2deM 16×7/16e & 8×7/8e 2 30
117/16e 1462,5 13×9/16e & 9×13/16e 2 31 120/16e 1500 8ve+3cem 24×5/16e & 12×5/8e & 8×15/16e 3 etc. etc. etc.
Ce mode des correspondances est une passerelle de passages composée des degrés communs des 8 premières échelles non-octaviantes de la famille d'1/16e de ton et où d'autres échelles étrangères (non d'1/16e de ton) vont se connecter : comparable à la fonction de l'aéroport qui s'intègre dans un réseau plus vaste. Nom : mode des correspondances d'1/16e de ton non-octaviant p8. Ce mode des correspondances n'est pas cyclique. Ce mode ici couvre un ambitus de 1500 cents (8ve 3ce m) avec 31 degrés, mais n'est pas fini; il s'ajustera sans répétition selon l'instrument de musique utilisé pour sa fonction de reconnaissance des correspondances (sinon il servira à autre chose).
Téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler.** Notons que le script de Scala, en deça et au-delà des 31 degrés répète le mode à correspondances d'1/16e de ton non-octaviant p8 comme un cycle à partir de l'origine do3 (261,63Hz) accordé au diapason la3 = 440 Hz.
Remarques :
. Tous les degrés des échelles de 5/8e, de 7/8e et de 15/16e de ton correspondent.
. 4 degrés de l'échelle de 7/16e de ton n'ont pas de correspondance contre 13 (hors origine) dans les premiers 31 degrés du mode.
. L'échelle de 9/16e de ton a 6 correspondances (hors origine) dans les premiers 31 degrés du mode contre 7 qui n'en n'ont pas.
. L'échelle de 11/16e de ton a 5 correspondances (hors origine) dans les premiers 31 degrés du mode contre 6 qui n'en n'ont pas.
. L'échelle de 13/16e de ton a 4 correspondances (hors origine) dans les premiers 31 degrés du mode contre 5 qui n'en n'ont pas.
. Dans ce contexte, il y a plus de hauteurs qui correspondent que de hauteurs isolées.
. Il serait intéressant de continuer la construction du « mode des correspondances 1/16e p8 » au-delà et en deçà pour comprendre sa forme...
. Les connexions semblent s'intensifier entre la 4te et la 7e mineure où il n'y a que 6 hauteurs isolées pour les 8 échelles.
. Cette famille est en attente de constitution modale combinée ou pas (avec plusieurs ou d'une seule échelle) et de vérification de ses transpositions exactes ou modifiées (où la taille change, mais pas les proportions), etc....
Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/15 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/15e DE TON
nommable aussi Z90 :
2. multiples de 1/15e de ton
15√(6√2) = 90√2 = 21/90 = 1,007731369217151530104557933693
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 15) 1/15 pour obtenir ses 15 échelles multiples :
nom rapport propriété 1 Echelle de 1/15e de ton (21/90)1 = 1,00773 symétrique octaviante = 90√2 2 Echelle de 2/15e de ton (21/90)2 = 1,01552 asymétrique octaviante = 45√2 3 Echelle de 1/5e de ton (21/90)3 = 1,02337 symétrique octaviante = 30√2 4 Echelle de 4/15e de ton (21/90)4 = 1,031286 asymétrique non-octaviante 5 Echelle de 1/3 de ton (21/90)5 = 1,03926 symétrique octaviante = 18√2 6 Echelle de 2/5e de ton (21/90)6 = 1,04729 asymétrique octaviante = 15√2 7 Echelle de 7/15e de ton (21/90)7 = 1,05539 asymétrique non-octaviante 8 Echelle de 8/15e de ton (21/90)8 = 1,06355 asymétrique non-octaviante 9 Echelle de 3/5e de ton (21/90)9 = 1,07177 symétrique octaviante = 10√2 10 Echelle de 10/15e de ton (21/90)10 = 1,08006 asymétrique octaviante = 9√2 11 Echelle de 11/15e de ton (21/90)11 = 1,08841 asymétrique non-octaviante 12 Echelle de 4/5e de ton (21/90)12 = 1,09825 asymétrique non-octaviante 13 Echelle de 13/15e de ton (21/90)13 = 1,1053 asymétrique non-octaviante 14 Echelle de 14/15e de ton (21/90)14 = 1,11385 asymétrique non-octaviante 15 Echelle de ton (21/90)15 = 1,12246 symétrique octaviante = 6√2 16 Echelle de 16/15e de ton (21/90)16 = 1,13114 asymétrique non-octaviante 17 Echelle de 17/15e de ton (21/90)17 = 1,13988 asymétrique non-octaviante 18 Echelle de 6/5e de ton (21/90)18 = 1,148698 asymétrique octaviante = 5√2
. remarque : contrairement à Z96, Z90 possède des échelles asymétriques non-octaviantes et asymétriques octaviantes dans les possibilités de Z90, mais elle n'a pas d'échelle symétrique non-octaviante.
[rappel : une échelle symétrique est une échelle qui répète ses rapports par division binaire (paire)]
Graphe des 18 premières échelles multiples de 1/15e de ton :
. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 5, 10 et 15 degrés sauf pour les trois échelles 1/3 de ton (= 18√2); 10/15e de ton (= 9√2); 1 ton (= 6√2).
. Toutes les échelles multiples de 1/15e de ton répètent un cycle d'un intervalle inclus dans Z12.
. Des 18 échelles quinzotoniques répétant un cycle de 15 degrés, 5 échelles reconnaissent un centre de symétrie dans leurs divisions de l'octave : 1/15e de ton (= 90√2), 1/5e de ton (= 30√2), 1/3 de ton (= 18√2), 3/5e de ton (= 10√2), 1 ton (= 6√2) qui divisent l'octave par un nombre pair.Nous avons 9 échelles multiples de l’échelle d’1/15e de ton qui ne sont pas symétriques dans l’octave et même l’ignore : non-octaviantes
telles que les échelles de :
nom quantification en cent rapport 4/15e de ton 53,33.. cents 1,03128... 7/15e de ton 93,33.. cents 1,05538... 8/15e de ton 106,66.. cents 1,06354... 11/15e de ton 146,66.. cents 1,08839... 4/5e de ton 160 cents 1,09681... 13/15e de ton 173,33.. cents 1,10529... 14/15e de ton 186,66.. cents 1,11383... 16/15e de ton 213,33.. cents 1,13114... 17/15e de ton 226,66.. cents 1,13988... (rappel : 12√2 = 1,05946)
7 premières échelles non-octaviantes asymétriques et cycliques multiples de l’échelle 1/15 de ton (13,33.. cents) 90√2=1,00773 :
Graphe des 7 premières échelles asymétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/15e de ton :
La symétrie n'apparait pas par l'inexistence d'une division paire. Ces 7 échelles divisent un cycle par un nombre impair 15 et donc ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans leur cycle.
Propriétés de ces 7 échelles non octaviantes multiples de 1/15e de ton (13,33.. cents) 90√2=1,00773 :
1. L'échelle de 4/15 de ton (53,33.. cents ou 1,03128) divise la 6te mineur (800 cents ou 1,58736) en 15 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de 8ve + 3ce majeur (2 . 6te m), (3 . 6te m), etc. : 4/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6te mineur et ses multiples : 15√1,58736 = 1,03128. Reste la prégnance de la quinte avec battement au 13e degré, même si celle-ci est plus petite (693,3 cents contre 700 cents). Reste la prégnance de l'octave avec battement au 22e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33.. cents contre 1200 cents) plus qu'au 23e degré qui sonnent tous deux résolument "faux". 1/4 de ton = 50 cents. Double octave juste au 45e degré (2400 cents = 45 . 53,33..).
00: 0 unisson
01: 53,333 cents
02: 106,667 cents
03: 160 cents
04: 213,333 cents
05: 266,667 cents
06: 320 cents
07: 373,333 cents
08: 426,667 cents
09: 480 cents
10: 533,333 cents
11: 586,667 cents
12: 640 cents
13: 693,333 cents
14: 746,667 cents
15: 800 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp2. L'échelle de 7/15e de ton (93,33.. cents ou 1,05538) divise l'octave + la seconde majeur (1400 cents ou 2,24483) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+2de M (2 . 8ve+2de M), (3 . 8ve+2de M), etc. : 7/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2deM et ses multiples : 15√2,24483 = 1,05539. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 13e degré, même si celle-ci est plus grande (1213.33 cents contre 1200 cents). (1/2 de ton = 100 cents).
00: 0 unisson
01: 93,333 cents
02: 186,667 cents
03: 280 cents
04: 373,333 cents
05: 466,667 cents
06: 560 cents
07: 653,333 cents
08: 746,667 cents
09: 840 cents
10: 933,333 cents
11: 1026,667 cents
12: 1120 cents
13: 1213,333 cents
14: 1306,667 cents
15: 1400 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp3. L'échelle de 8/15e de ton (106,66.. cents ou 1,06354) divise l'octave + 3ce majeur (1600 cents ou 2,51972) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+3ce M (2 . 8ve+3ce M), (3 . 8ve+3ce M), etc. : 8/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+3ceM et ses multiples : 15√2,51972 = 1,06355. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 11e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33 cents contre 1200 cents). (1/2 de ton = 100 cents).
00: 0 unisson
01: 106,667 cents
02: 213,333 cents
03: 320 cents
04: 426,667 cents
05: 533,333 cents
06: 640 cents
07: 746,667 cents
08: 853,333 cents
09: 960 cents
10: 1066,667 cents
11: 1173,333 cents
12: 1280 cents
13: 1386,667 cents
14: 1493,333 cents
15: 1600 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp4. L'échelle de 11/15e de ton (146,66.. cents ou 1,08839) divise l'octave + 7e mineur (2200 cents ou 3,56337) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+7e m (2 . 8ve+7e m), (3 . 8ve+7e m), etc. : 11/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+7em et ses multiples : 15√3,56337 = 1,08841. Entre 9√2 et 8 √2. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 8e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33 cents contre 1200 cents).
00: 0 unisson
01: 146,667 cents
02: 293,333 cents
03: 440 cents
04: 586,667 cents
05: 733,333 cents
06: 880 cents
07: 1026,667 cents
08: 1173,333 cents
09: 1320 cents
10: 1466,667 cents
11: 1613,333 cents
12: 1760 cents
13: 1906,667 cents
14: 2053,333 cents
15: 2200 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp5. L'échelle de 4/5e de ton (160 cents ou 1,09681, est incluse dans l'échelle de 4/15 de ton) divise la 6te mineur (800 cents ou 1,58736) en 5 intervalles équidistants et répète l'intervalle de 6te m : (2 . 6te m), (3 . 6te m), etc. : 4/5e de ton est une échelle cyclique : 5√1,58736 = 1,09682. Double octave juste au 15e degré (2400 cents = 15 . 160).
0: 0 unisson
1: 160 cents
2: 320 cents
3: 480 cents
4: 640 cents
5: 800 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp6. L'échelle de 13/15e de ton (173,33.. cents ou 1,10529) divise (2600 cents ou 4,48998) en 15 intervalles équidistants et répète l'intervalle de double octave + 2de majeur : (2 . (2 . 8ve+2deM)), (3 . (2 . 8ve+2deM)), (4 . (2 . 8ve+2deM)) : 13/15e de ton est une échelle cyclique : 15√4,48998 = 1,10531. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 7e degré, même si celle-ci est plus grande (1213,33 cents contre 1200 cents).
00: 0 unisson
01: 173,333 cents
02: 346,667 cents
03: 520 cents
04: 693,333 cents
05: 866,667 cents
06: 1040 cents
07: 1213,333 cents
08: 1386,667 cents
09: 1560 cents
10: 1733,333 cents
11: 1906,667 cents
12: 2080 cents
13: 2253,333 cents
14: 2426,667 cents
15: 2600 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp7. L'échelle de 14/15e de ton (186,66.. cents ou 1,11383) divise (2800 cents ou 5,0383) en 15 intervalles équidistants et répète l'intervalle de double octave + 3ce majeur : (2 . (2 . 8ve+3ceM)), (3 . (2 . 8ve+3ceM)), (4 . (2 . 8ve+3ceM)) : 14/15e de ton est une échelle cyclique : 15√5,0383 = 1,11383.
00: 0 unisson
01: 186,667 cents
02: 373,333 cents
03: 560 cents
04: 746,667 cents
05: 933,333 cents
06: 1120 cents
07: 1306,667 cents
08: 1493,333 cents
09: 1680,000 cents
10: 1866,667 cents
11: 2053,333 cents
12: 2240 cents
13: 2426,667 cents
14: 2613,333 cents
15: 2800 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkpRécapitulation :
rang nom ambitus (intervalle) divisé division par octaviation 1 4/15e de ton 800 cents 6te m 15 au 22e degré : 1173 contre 1200 2 7/15e de ton 1400 cents 8ve+2de M 15 au 13e degré : 1213 contre 1200 cents 3 8/15e de ton 1600 cents 8ve+3ce M 15 au 11e degré : 1173 contre 1200 cents 4 11/15e de ton 2200 cents 8ve+7e m 15 au 8e degré : 1173 contre 1200 cents 5 4/5e de ton 800 cents 6te m 5 au 15e degré : dbl 8ve 2400 cents 6 13/15e de ton 2600 cents 2x8ve+2de M 15 au 7e degré : 1213 contre 1200 cents 7 14/15e de ton 2800 cents 2x8ve+3ce M 15
Remarques :
Les 7 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z90 (1/15e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles impairs par 15 ou 5. Le cycle est toujours un intervalle élément de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les 6 intervalles « passages » sont la 6te mineur, l'8ve+2de M, l'8ve+3ce M, l'8ve+7e m, la double 8ve+2deM et la double 8ve+3ceM. La prégnance de l'octave dans 5 échelles sur 7 reste forte (malgré leur non-octaviation numérique). Les échelles de 4/15e de ton et de 4/5e de ton rencontrent la double octave. Les échelles de 7/15e de ton et 8/15e de ton cernent l'échelle d' 1/2 ton. L'échelle de 4/15e de ton (53,33.. cents) taquine l'échelle d'1/4 de ton (50 cents). 6 échelles sur 7 "taquinent" une octave de 1173 cents et 1213 cents.
PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE
transitions (pas transposition) d'échelles dans Z90
Le passage se fait lorsqu'il y a connexion pour une correspondance, c'est-à-dire un élément commun à deux ou plusieurs échelles. Bien sûr le passage peut se faire par « saut » sans la nécessité d'un élément commun ou d'une connexion.
Correspondances :
Voici les 30 premières correspondances entre les 7 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z90 qui permettent la transition d'une échelle à une autre par au moins un élément commun (lignes grisées horizontales dans le graphe). Nous nous sommes limités à deux cycles de 4/15e de ton.
01. 2 . 4/15e & 1 . 8/15e
02. 3 . 4/15e & 1 . 4/5e
03. 2 . 7/15e & 1 . 14/15e
04. 4 . 4/15e & 2 . 8/15e
05. 6 . 4/15e & 3 . 8/15e & 2 . 4/5e
06. 7 . 4/15e & 4 . 7/15e & 2 . 14/15e
07. 8 . 4/15e & 4 . 8/15e
08. 9 . 4/15e & 3 . 4/5e
09. 10 . 4/15e & 5 . 8/15e
10. 6 . 7/15e & 3 . 14/15e
11. 11 . 4/15e & 4 . 11/15e
12. 12 . 4/15e & 6 . 8/15e & 4 . 4/5e
13. 13 . 4/15e & 4 . 13/15e
14. 14 . 4/15e & 8 . 7/15e & 7 . 8/15e & 4 . 14/15e
15. 15 . 4/15e & 5 . 4/5e = 6te mineure
16. 16 . 4/15e & 8 . 8/15e
17. 6 . 11/15e & 5 . 13/15e
18. 10 . 7/15e & 5 . 14/15e
19. 18 . 4/15e & 9 . 8/15e & 6 . 4/5e
20. 11 . 7/15e & 7 . 11/15e
21. 20 . 4/15e & 10 . 8/15e
22. 21 . 4/15e & 12 . 7/15e & 7 . 4/5e & 6 . 14/15e
23. 22 . 4/15e & 11 . 8/15e & 8 . 11/15e
24. 13 . 7/15e & 7 . 13/15e
25. 24 . 4/15e & 12 . 8/15e & 8 . 4/5e
26. 14 . 7/15e & 7 . 14/15e
27. 26 . 4/15e & 13 . 8/15e & 8 . 13/15e
28. 27 . 4/15e & 9 . 4/5e
29. 28 . 4/15e & 16 . 7/15e & 14 . 8/15e & 8 . 14/15e
30. 30 . 4/15e & 15 . 8/15e & 10 . 4/5e = 8ve + 3ce majeureSur les premiers 30 degrés, l'échelle de 4/15e de ton rassemble presque toutes les correspondances sauf le 3eme, le 10eme, le 17eme, le 18eme, le 20eme, le 24eme et le 26eme : 7 degrés sur 23. La réunion des correspondances donne le mode suivant (rappel : 1/15e de ton <=> 13,33.. cents) :
degré x/15e de ton cents nom des
intervalles dans Z12points de correspondances nombre de correspondances 0 1 0 origine 1 7 1 8/15e 106,667 2×4/15e & 8/15e 2 2 4/5e 160 3×4/15e & 4/5e 2 3 14/15e 186,667 2×7/15e & 14/15e 2 4 16/15e 213,334 4×4/15e & 2×8/15e 2 5 8/5e 320 6×4/15e & 3×8/15e & 2×4/5e 3 6 28/15e 373,334 7×4/15e & 4×7/15e & 2×14/15e 3 7 32/15e 426,667 8×4/15e & 4×8/15e 2 8 12/5e 480 9×4/15e & 3×4/5e 2 9 8/3e 533,334 10×4/15e & 5×8/15e 2 10 14/5e 560 6×7/15e & 3×14/15e 2 11 44/15e 586,667 11×4/15e & 4×11/15e 2 12 48/15e 640 12×4/15e & 6×8/15e & 4×4/5e 3 13 52/15e 693,334 13×4/15e & 4×13/15e 2 14 56/15e 746,667 14×4/15e & 8×7/15e & 7×8/15e & 4×14/15e 4 15 12/3 800 6te m 15×4/15e & 5×4/5e 2 16 64/15e 853,334 16×4/15e & 8×8/15e 2 17 22/5e 880 6×11/15e & 5×13/15e 2 18 14/3 933,334 10×7/15e & 5×14/15e 2 19 24/5e 960 18×4/15e & 9×8/15e & 6×4/5e 3 20 77/15e 1026,667 11×7/15e & 7×11/15e 2 21 16/3 1066,667 20×4/15e & 10×8/15e 2 22 28/5e 1120 21×4/15e & 12×7/15e & 7×4/5e & 6×14/15e 4 23 88/15e 1173,334 22×4/15e & 11×8/15e & 8×11/15e 3 24 91/15e 1213,334 13×7/15e & 7×13/15e 2 25 32/5e 1280 24×4/15e & 12×8/15e & 8×4/5e 3 26 98/15e 1306,667 14×7/15e & 7×14/15e 2 27 104/15e 1386,667 26×4/15e & 13×8/15e & 8×13/15e 3 28 108/15e 1440 27×4/15e & 9×4/5e 2 29 112/15e 1493,334 28×4/15e & 16×7/15e & 14×8/15e & 8×14/15e 4 30 24/3 1600 8ve + 3ce M 30×4/15e & 15×8/15e & 10×4/5e 3 etc. etc. etc. Dans sa forme nous constatons dans ce mode des correspondances, des rapports de phases d'échelles où le mode des correspondances résultant ne se répète jamais : n'est pas cyclique; cela par les "glissement" constants de ses 7 cycles les uns sur les autres. Ce sont les mêmes principes que les déphasages rythmiques initiés par Steve Reich avec Drumming ou Piano Phase par exemple, mais ici dans le champ des hauteurs. Ce mode ici couvre un ambitus de 1600 cents avec 30 degrés, mais n'est pas fini; il s'ajustera sans répétition selon l'instrument de musique utilisé pour sa fonction de reconnaissance des correspondances (sinon il servira à autre chose).
Téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler.Ce mode des correspondances est une passerelle de passage où toutes les 7 premières échelles non-octaviantes de cette famille où d'autres peuvent se connecter : comparable à la fonction de l'aéroport qui s'intègre dans un réseau plus vaste. Nom : mode des correspondances d'1/15e de ton non-octaviant p7. Ce mode des correspondances n'est pas cyclique*.
* Notons que le script de Scala, en deça et au-delà des 30 degrés répète le mode à correspondances d'1/15e de ton non-octaviant p7 comme un cycle à partir à partir de l'origine do3 (261,63Hz) accordé au diapason du la3 (A4) = 440 Hz.
...
PARENTHESE [ & anticipation :
Suitons les échelles non-octaviantes (mais cycliques) de Z96 et Z90 du plus petit au plus grand intervalle avant le ton, ceLA nous donne :
Suite des 15 échelles cycliques non-octaviantes de Z96 (1/16e de ton) et de Z90 (1/15e de ton) - (rappel 100 cents = 1/2 ton : 1.05946) :
n° nom quantification en cent rapports exemples musicaux 01 4/15e de ton 53,33.. cents 1,03128 chopin 4/15 download .scl file 02 5/16e de ton 62,5 cents 1,03678 chopin 5/16 download .scl file 03 7/16e de ton 87,5 cents 1,05187 chopin 7/16 download .scl file 04 7/15e de ton 93,33.. cents 1,05538 chopin 7/15 download .scl file 05 8/15e de ton 106,66.. cents 1,06354 chopin 8/15 download .scl file 06 9/16e de ton 112,5 cents 1,06717 chopin 9/16 download .scl file 07 5/8e de ton 125 cents 1,07491 chopin 5/8 download .scl file 08 11/16e de ton 137,5 cents 1,0827 chopin 11/16 download .scl file 09 11/15e de ton 146,66.. cents 1,08839 chopin 11/15 download .scl file 10 4/5e de ton 160 cents 1,09681 chopin 4/5 download .scl file 11 13/16e de ton 162,5 cents 1,09846 chopin 13/16 download .scl file 12 13/15e de ton 173,33.. cents 1,10529 chopin 13/15 download .scl file 13 7/8e de ton 175 cents 1,10642 chopin 7/8 download .scl file 14 14/15e de ton 186,66.. cents 1,11383 chopin 14/15 download .scl file 15 15/16e de ton 187,5 cents 1,11445 chopin 15/16 download .scl file Nous constatons que les 4 premières échelles sont microtonales et que les 11 autres sont macrotonales (nous nous sommes arrêtés avant le ton : 200 cents) montre que la frontière est arbitraire. Les échelles de 7/15e et de 8/15e cernent et sont proches de l'échelle de 1/2 ton mais ne reproduit pas ses proportions (sa sonorité). Afin de rendre ces échelles à une perception plus concrète, nous nous sommes amusés à interpréter ces échelles avec une musique bien connue de tous de Frédérique Chopin : sa Valse op 64 n°2 déclinée dans toutes ces échelles (écoutez les exemples ci-dessus dans le tableau ou téléchargez le tout dans le conteneur 45Mo.zip). Les échelles sont construites sur l'origine du do3 médian à 261.63Hz accordées au diapason la3 à 440Hz.
Disponibles aussi à l'écoute, 4 récentes (2010) interprétations de « 3 Ephémérôdes partis du Milieu de la bombe » pour trois pianos, écrit à Rio de Janeiro en 2000 pour le trio du pianiste Waldemar Reis. Les quatre interprétations proposent ici : 1. un accord pour les trois pianos en 8/15e de ton, 2. un accord pour chacun de 4/15e de ton, 7/15e de ton et 11/15e de ton en deux interprétations : l'une résonnante et l'autre pas, et 3. un accord pour chacun de 1/2 ton, 9/16e de ton et 8/15e de ton. Téléchargez le tout dans un conteneur 122Mo.zip.FIN DE LA PARENTHESE ]
Voyons plus loin... suite des trouvailles des
divisions non symétriques pour d’autres échelles
: celles multiples de 1/14 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE
1/14e DE TON
nommable aussi Z84 :
3. multiples de 1/14e de ton
14√(6√2) = 84√2 = 21/84 = 1,0082858916953740285765551729555
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 14) 1/14 pour obtenir ses 14 échelles multiples :
nom formule rapport* quant. cent propriété remarques Echelle de 1/14e de ton (84√2)1 = 1,00829 <=> 14,2857.. cents symétrique octaviante = 84√2 1,0082858916953740285765551729555 ** Echelle de 1/7e de ton (84√2)2 = 1,01665 <=> 28,5714.. cents symétrique octaviante = 42√2 1,0166404393919355254466878281669 Echelle de 3/14e de ton (84√2)3 = 1,02508 <=> 42,8571.. cents symétrique octaviante = 28√2 1,0250642119658745674433761912354 Echelle de 2/7e de ton (84√2)4 = 1,03357 <=> 57,1428.. cents symétrique octaviante = 21√2 1,0335577830070277304532462255542 Echelle de 5/14e de ton (84√2)5 = 1,04214 <=> 71,4285.. cents asymétrique non-octaviante 1,0421217308579348537980091159494 Echelle de 3/7e de ton (84√2)6 = 1,05078 <=> 85,7142.. cents symétrique octaviante = 14√2 1,0507566386532194247355350853237 Echelle de 1/2e de ton (84√2)7 = 1,05949 <=> 100 cents symétrique octaviante = 12√2 = 1,05946 <=> 1/2 ton Echelle de 4/7e de ton (84√2)8 = 1,06828 <=> 114,2857.. cents asymétrique non-octaviante 1,0682416908144022200136068970692 Echelle de 9/14e de ton (84√2)9 = 1,07713 <=> 128,5714.. cents asymétrique non-octaviante 1,0770930257689735860738394072839 Echelle de 5/7e de ton (84√2)10 = 1,08606 <=> 142,857.. cents asymétrique non-octaviante 1,0860177019263380088706088742993 Echelle de 11/14e de ton (84√2)11 = 1,09507 <=> 157,1428.. cents asymétrique non-octaviante 1,09501632698375864013523791702 Echelle de 6/7e de ton (84√2)12 = 1,10414 <=> 171,4285.. cents symétrique octaviante = 7√2 1,1040895136738123376495053876233 Echelle de 13/14e de ton (84√2)13 = 1,1133 <=> 185,714285.. asymétrique non-octaviante 1,113237879806111729266212869331 Echelle de ton (84√2)14 = 1,12253 <=> 200 cents symétrique octaviante = 6√2 6√2 = 1,12246 ou 1,1224620483093729814335330496792 * calculé avec une calculette de poche
** calculé avec un ordinateur 32 bitremarques :
. la division paire du ton retrouve toujours l'échelle de 1/2 ton au milieu <=> 12√2 = 1,0594630943592952645618252949463 et une symétrie des échelles non octaviantes.
Parenthèse + Attention [
Nous ne faisons pas cette exploration d'échelles afin d'enquiquiner les élèves des conservatoires de musique à jouer des gammes avec leur instrument de musique : comme si jouer des gammes permettait d'améliorer sa technique instrumentale ! Et ça agace tellement son entourage... Autant jouer des petites combinaisons (des presque-musiques) pour se familiariser avec ces échelles où improviser dans celles-ci, etc. ]
Graphe des 14 premières échelles multiples de 1/14e de ton :
. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 7 degrés.
. Toutes les échelles multiples de 1/14e de ton répètent un cycle d'un intervalle de Z12
. Nous avons 6 échelles multiples de l’échelle d’1/14e de ton qui ignorent l’octave : non-octaviantes
ne sont pas symétriques dans et même l’
telles que les échelles de :
nom quantification en cent rapport 5/14e de ton 71,428571428571428571428571428571 cents 1,04214 4/7e de ton 114,28571428571428571428571428571 cents 1,06828 9/14e de ton 128,57142857142857142857142857143 cents 1,07713 5/7e de ton 142,85714285714285714285714285714 cents 1,08606 11/14e de ton 157,14285714285714285714285714286 cents 1,09507 13/14e de ton 185,71428571428571428571428571429 cents 1,1133
parenthèse [
Anticipation : nous constatons que pour chaque série d'échelles nous avons :
8 échelles non octaviantes multiples de 1/16e de ton
7 échelles non octaviantes multiples de 1/15e de ton
6 échelles non octaviantes multiples de 1/14e de ton
Donc les prochaines seront au nombre de :
5 échelles non octaviantes multiples de 1/13e de ton en fait 8 non 7
4 échelles non octaviantes multiples de 1/12e de ton
3 échelles non octaviantes multiples de 1/11e de ton
2 échelles non octaviantes multiples de 1/10e de ton
1 échelles non octaviantes multiples de 1/9e de ton
ce qui nous donne 36 (non) échelles non octaviantes multiples jusqu'à 1/16e de ton ]
6 échelles non-octaviantes asymétriques et cycliques multiples de l’échelle 1/14e de ton (14,28... cents) 84√2=1,00829 :
Graphe des 6 premières échelles asymétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/14e de ton :
En considérant ces échelles heptatoniques, répétant un cycle de 7 degrés, elles ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans leurs divisions. Elles sont asymétriques car elles ne possèdent pas un degrés central où l'image miroir correspond à l'image projetée. L'asymétrie apparait par l'effacement d'une division pair de 14 degrés pour 7 degrés. Ces 6 échelles divisent un cycle par un nombre impair 7 et donc ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans son cycle. Elles sont toutes asymétriques.
Propriétés de ces 6 échelles non octaviantes multiples de 1/14e de ton (14,28... cents) 84√2=1,00829 :
1. L'échelle 5/14e de ton (71,428 cents) divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : septième mineur (2 x 4te) et octave+3ce mineure (3 x 4te), etc. : 5/14e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Sensation d'octave au 17e degré bien qu'il soit plus grand : 1214,293 cents (contre 1200) en plus de la quarte au 7e degré.
0: 0
1: 71,429 cents
2: 142,857 cents
3: 214,286 cents
4: 285,714 cents
5: 357,143 cents
6: 428,571 cents
7: 500 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp2. L'échelle de 4/7e de ton (114,2857... cents) divise l'intervalle de 6te mineur (800 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave+3ce majeure (2 x 6te m), etc. Sensation de quinte au 6e degré bien qu'il soit plus petit : 685,714 cents (contre 700 cents) en plus de la sixte mineur au 7e degré.
0: 0
1: 114,286 cents
2: 228,571 cents
3: 342,857 cents
4: 457,143 cents
5: 571,429 cents
6: 685,714 cents
7: 800 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp3. L'échelle de 9/14e de ton (128,57... cents) divise l'intervalle de 6te majeur (900 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave+triton (2 x 6te M), etc. Aucun degré qui puisse vraiment l'arrêter... Tout est entre Z12 bien que le 3e degré soit proche d'une 3ce majeure 385 cents contre 400.
0: 0
1: 128,571 cents
2: 257,143 cents
3: 385,714 cents
4: 514,286 cents
5: 642,857 cents
6: 771,429 cents
7: 900 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
4. L'échelle de 5/7e de ton (142,857... cents) divise l'intervalle de 7e mineur (1000 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : Aucun degré qui puisse vraiment l'arrêter... Tout est entre Z12.
0: 0
1: 142,857 cents
2: 285,714 cents
3: 428,571 cents
4: 571,429 cents
5: 714,286 cents
6: 857,143 cents
7: 1000 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp5. L'échelle de 11/14e de ton (157,142857... cents) divise l'intervalle de 7e majeur (1100 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : octave+7e m (2 x 7e M), etc. Aucun degré qui puisse vraiment l'arrêter... Tout est entre Z12 bien que le 12e degré à 1885,716 cents soit proche d'un octave (1200 cents) + quinte (700 cents) = 1900 cents et que le 23e degré à 3614,289 cents soit proche du triple octave = 3600 cents.
0: 0
1: 157,143 cents
2: 314,286 cents
3: 471,429 cents
4: 628,571 cents
5: 785,714 cents
6: 942,857 cents
7: 1100 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp6. L'échelle de 13/14e de ton (185,7142857... cents) divise l'intervalle d'octave + 2de mineur (1300 cents) en 7 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : double 8ve + 2de m (2600 cents), triple 8ve + 3ce m (3900 cents), etc. Au 13e degré on rencontre une double octave un peu haute à 2414,282 cents contre 2400 cents.
0: 0
1: 185.714 cents
2: 371.429 cents
3: 557.143 cents
4: 742.857 cents
5: 928.571 cents
6: 1114.286 cents
7: 1300 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
rang nom ambitus (intervalle) divisé division par octaviation 1 5/14e de ton 500 cents 4te 7 au 17e degré : 1214 contre 1200 cents 2 4/7e de ton 800 cents 6te m 7 3 9/14e de ton 900 cents 6te M 7 4 5/7e de ton 1000 cents 7e m 7 5 11/14e de ton 1100 cents 7e M 7 Trpl 8ve au 23e degré : 3614 contre 3600 cents 6 13/14e de ton 1300 cents 8ve+2de m 7 Dbl 8ve au 13e degré : 2414 contre 2400 cents
Remarques :
Les 6 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z84 (1/14e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles impairs par 7. Les cycles sont des intervalles éléments de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les 6 intervalles « passages » sont la 4te, la 6te mineur, la 6te majeur, la 7e mineur, la 7e majeur et l'8ve+2de mineur. La prégnance de l'octave dans 3 échelles sur 6 reste faible malgré leur non-octaviation numérique. L'échelle de 5/14e de ton rencontre l'octave au 17e degré, l'échelle de 13/14e de ton rencontre la double octave au 13e degré, l'échelle de 11/14e de ton rencontre une triple octave au 23e degré et une octave + quinte au 12e degré, l'échelle de 4/7e de ton rencontre une quinte au 6e degré.
PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE
transitions (pas transposition) d'échelles dans Z84
Le passage se fait lorsqu'il y a connexion pour une correspondance, c'est-à-dire un élément commun à deux ou plusieurs échelles. Bien sûr le passage peut se faire par « saut » sans la nécessité d'un élément commun ou d'une connexion.
Correspondances :
Voici les 22 premières correspondances entre les 6 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z84 qui permettent la transition d'une échelle à une autre par au moins un élément commun (lignes grisées horizontales dans le graphe).
01. 2 . 5/14e & 1 . 5/7e
02. 4 . 5/14e & 2 . 5/7e
03. 6 . 5/14e & 3 . 5/7e
04. 8 . 5/14e & 4 . 5/7e
05. 9 . 5/14e & 5 . 9/14e
06. 10 . 5/14e & 5 . 5/7e
07. 11 . 5/14e & 5 . 11/14e
08. 12 . 5/14e & 6 . 5/7e
09. 6 . 11/14e & 5 . 13/14e
10. 14 . 5/14e & 7 . 11/14e = 7e mineure
11. 9 . 4/7e & 8 . 9/14e
12. 16 . 5/14e & 10 . 4/7e & 8 . 5/7e
13. 11 . 4/7e & 8 . 11/14e
14. 18 . 5/14e & 10 . 9/14e & 9 . 5/7e
15. 11 . 9/14e & 9 . 11/14e
16. 20 . 5/14e & 10 . 5/7e
17. 13 . 4/7e & 8 . 13/14e
18. 22 . 5/14e & 11 . 5/7e & 10 . 11/14e
19. 13 . 9/14e & 9 . 13/14e
20. 24 . 5/14e & 15 . 4/7e & 12 . 5/7e
21. 26 . 5/14e & 13 . 5/7e & 10 . 13/14e
22. 27 . 5/14e & 15 . 9/14e
degré x/14e de ton cents nom des
intervalles dans Z12points de correspondances nombre de correspondances 0 1 0 origine 1 6 1 5/7e 142,857... 2×5/14e & 1×5/7e 2 2 10/7e 285,714... 4×5/14e & 2×5/7e 2 3 15/7e 428,571... 6×5/14e & 3×5/7e 2 4 20/7e 571,428... 8×5/14e & 4×5/7e 2 5 45/14e 642,857... 9×5/14e & 5×9/14e 2 6 25/7e 714,285... 10×5/14e & 5×5/7e 2 7 55/14e 785,714... 11×5/14e & 5×11/14e 2 8 30/7e 857,142... 12×5/14e & 6×5/7e 2 9 33/7e 942,857... 6×11/14e & 5×13/14e 2 10 35/7e 1000 7e mineure 14×5/14e & 7×11/14e 2 11 36/7e 1028,571... 9×4/7e & 8×9/14e 2 12 40/7e 1142,857... 16×5/14e & 10×4/7e & 8×5/7e 3 13 44/7e 1257,142... 11 . 4/7e & 8 . 11/14e 2 14 45/7e 1285,714... 18×5/14e & 10×9/14e & 9×5/7e 3 15 99/14e 1414,2857... 11×9/14e & 9×11/14e 2 16 50/7e 1428,571... 20×5/14e & 10×5/7e 2 17 52/7e 1485,714... 13×4/7e & 8×13/14e 2 18 55/7e 1571,428... 22×5/14e & 11×5/7e & 10×11/14e 3 19 117/14e 1671,428... 13×9/14e & 9×13/14e 2 20 60/7e 1714,285... 24×5/14e & 15×4/7e & 12×5/7e 3 21 65/7e 1857,142... 26×5/14e & 13×5/7e & 10×13/14e 3 22 135/14e 1928,571... 27×5/14e & 15×9/14e 2 remarques :
. Tous les degré de l'échelle de 5/7e de ton correspondent, principalement avec sa moitié : l'échelle de 5/14e de ton
. L'échelle de 4/7e de ton a 6 correspondances (hors origine) dans les premiers 22 degrés
. L'échelle de 9/14e de ton a 6 correspondances (hors origine) dans les premiers 22 degrés
. L'échelle de 11/14e de ton a 5 correspondances (hors origine) dans les premiers 22 degrés
. L'échelle de 13/14e de ton a 4 correspondances (hors origine) dans les premiers 22 degrésCe mode ici couvre un ambitus de 1928,571... cents avec 22 degrés, mais n'est pas fini; il s'ajustera sans répétition selon l'instrument de musique utilisé pour sa fonction de reconnaissance des correspondances (sinon il servira à autre chose).
Téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler.*Ce mode des correspondances est une passerelle de passage où toutes les 6 premières échelles non-octaviantes de cette famille où d'autres peuvent se connecter : comparable à la fonction de l'aéroport qui s'intègre dans un réseau plus vaste. Nom : mode des correspondances d'1/14e de ton non-octaviant p6. Ce mode des correspondances n'est pas cyclique*.
* Notons que le script de Scala, en deça et au-delà des 22 degrés répète le mode à correspondances d'1/14e de ton non-octaviant p6 comme un cycle à partir à partir de l'origine do3 (261,63Hz).
...
Voyons plus loin... suite des trouvailles des
divisions non symétriques pour d’autres échelles
: celles multiples de 1/13 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE
1/13e DE TON
nommable aussi Z78 :
4. multiples de 1/13e de ton
13√(6√2) = 78√2 = 21/78 = 1,0089261044979412419235679603889...
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 13) 1/13 pour obtenir ses 13 échelles multiples :
nom rapport propriété 1 Echelle de 1/13e de ton (21/78)1 = 1,00892... symétrique octaviante = 78√2 2 Echelle de 2/13e de ton (21/78)2 = 1,01793... asymétrique octaviante = 49√2 3 Echelle de 3/13e de ton (21/78)3 = 1,02701... symétrique octaviante = 26√2 4 Echelle de 4/13e de ton (21/78)4 = 1,03618... asymétrique non-octaviante 5 Echelle de 5/13e de ton (21/78)5 = 1,04543... asymétrique non-octaviante 6 Echelle de 6/13e de ton (21/78)6 = 1,05476... asymétrique octaviante = 13√2 7 Echelle de 7/13e de ton (21/78)7 = 1,06418... asymétrique non-octaviante 8 Echelle de 8/13e de ton (21/78)8 = 1,07368... asymétrique non-octaviante 9 Echelle de 9/13e de ton (21/78)9 = 1,08326... asymétrique non-octaviante 10 Echelle de 10/13e de ton (21/78)10 = 1,09293... asymétrique non-octaviante 11 Echelle de 11/13e de ton (21/78)11 = 1,10268... asymétrique non-octaviante 12 Echelle de 12/13e de ton (21/78)12 = 1,11253... asymétrique double-octaviante 13 Echelle de ton (21/78)13 = 1,12246... symétrique octaviante = 6√2 14 Echelle de 14/13e de ton (21/78)14 = 1,13248... asymétrique non-octaviante 15 Echelle de 15/13e de ton (21/78)15 = 1,14258... asymétrique non-octaviante 16 Echelle de 16/13e de ton (21/78)16 = 1,15278... asymétrique non-octaviante 17 Echelle de 17/13e de ton (21/78)17 = 1,16307... asymétrique non-octaviante 18 Echelle de 18/13e de ton (21/78)18 = 1,17346... asymétrique non-octaviante . remarque :
Dans ce tableau Z78 possède 12 échelles asymétriques non-octaviantes (7 jusqu'au ton), 2+1 échelles asymétriques octaviantes, 3 échelles symétriques octaviantes et aucune échelle symétrique non-octaviante.Graphe des 17 premières échelles multiples de 1/13e de ton :
. Nous avions anticipé 5 échelles non octaviantes multiples de 1/13e de ton dont l'intervalle est inférieur au ton, nous nous sommes trompés : il y en a 8.
13 est un nombre premier (qui ne se divise que par 1 ou par lui-même).
. Le cycle de chaque échelle se répète tout les 13 degrés.
. Toutes les échelles multiples de 1/13e de ton (Z78) répètent un cycle d'un intervalle inclus dans Z12.
Nous avons 8 premières échelles multiples de l’échelle d’1/13e de ton qui ignorent l’octave : non octaviantestelles que les échelles de :
nom quantification en cent rapport 4/13e de ton 61,5384... cents 1,03618... 5/13e de ton 76,923... cents 1,04543... 7/13e de ton 107,6923... cents 1,06418... 8/13e de ton 123,0769... cents 1,07368... 9/13e de ton 138,4615... cents 1,08326... 10/13e de ton 153,846... cents 1,09293... 11/13e de ton 169,2307 cents 1,10268... 12/13e de ton 184,6153... cents 1,11253... et 14/13e de ton 215,3846... cents 1,13248... 15/13e de ton 230,76923... cents 1,14258... 16/13e de ton 246,1538... cents 1,15278... 17/13e de ton 261,5384... cents 1,16307... 8 échelles cycliques asymétriques non-octaviantes et multiples de l’échelle 1/13e de ton (15,384615384615384615384615384615 cents) 78√2=1,0089261 aux intervalles inférieurs au ton et 4 supérieurs au ton
Graphe des 8 + 4 premières échelles asymétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/13e de ton :
En considérant ces échelles treizotoniques, répétant un cycle de 13 degrés, elles ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans leurs divisions. Elles sont asymétriques. Elles ne possèdent pas un degrés central où l'image miroir correspond à l'image projetée. Ces 8 + 4 échelles divisent un cycle par un nombre impair et premier 13 et donc ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans son cycle.
Propriétés de ces 8 échelles non octaviantes multiples de 1/13e de ton (15,3846... cents) 78√2 = 1,00892... :
1. L'échelle 4/13e de ton (61,5384... cents) divise l'intervalle de 6te mineure (800 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : sixte mineur, octave + 3ce majeure (2 x 6te m), etc. : 4/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6te m et ses multiples. Le 8e degrés s'assimile à une quarte bien qu'il soit plus bas de 8 cents (492,308 cents contre 500 cents) et le 19e degrés s'assimile à l'octave bien qu'il sonne plus bas de 30 cents (1169,23 cents contre 1200 cents).
00: 0
01: 61,538 cents
02: 123,077 cents
03: 184,615 cents
04: 246,154 cents
05: 307,692 cents
06: 369,231 cents
07: 430,769 cents
08: 492,308 cents
09: 553,846 cents
10: 615,385 cents
11: 676,923 cents
12: 738,462 cents
13: 800 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp2. L'échelle 5/13e de ton (76,923 cents) divise l'intervalle de 7e mineur (1000 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 7e mineur, octave + 6te mineur (2 x 7e m), etc. : 5/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 7e m et ses multiples. Le 4e degré s'assimile à la 3ce mineure (307,7 cents contre 300 cents). Le 9e degrés s'assimile à la quinte bien qu'il soit plus bas de 8 cents (692,308 cents contre 700 cents) et le 16e degrés s'assimile à l'octave bien qu'il sonne plus haut de 30 cents (1230,77 cents contre 1200 cents).
00: 0
01: 76,923 cents
02: 153,846 cents
03: 230,769 cents
04: 307,692 cents
05: 384,615 cents
06: 461,538 cents
07: 538,462 cents
08: 615,385 cents
09: 692,308 cents
10: 769,231 cents
11: 846,154 cents
12: 923,077 cents
13: 1000 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
Ici, il est intéressant de comparer l'échelle de 5/13e de ton de 76,923 cents à une échelle proche qui divise l'octave en 16 intervalles égaux de 75 cents :
rang 5/13e de ton 8ve div 16 différence 01 76,923 75 1,923 02 153,846 150 3,846 03 230,769 225 5,769 04 307,692 300 7,692 05 384,615 375 9,615 06 461,538 450 11,538 07 538,462 525 13,462 08 615,385 600 15,385 09 692,308 675 17,308 10 769,231 750 19,231 11 846,154 825 21,154 12 923,077 900 23,077 13 1000 975 25 14 1076,923 1050 26,923 15 1153,846 1125 28,846 16 1230,769 1200 30,769 3. L'échelle 7/13e de ton (107,7 cents) divise l'intervalle d'8ve+2de majeur (1400 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+2deM (1400 cents), double octave+3ceM (2800 cents), etc. : 7/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2deM et ses multiples. 7/13e de ton (107,7 cents) est proche d'1/2 ton (100 cents), mais la sensation d'octave se fait au 11e degré à 1184,6 cents contre 1200 cents, une différence de 15,4 cents. Le 6e degré est intéressant comme un triton augmenté...
00: 0
01: 107,692 cents
02: 215,385 cents
03: 323,077 cents
04: 430,769 cents
05: 538,462 cents
06: 646,154 cents
07: 753,846 cents
08: 861,538 cents
09: 969,231 cents
10: 1076,923 cents
11: 1184,615 cents
12: 1292,308 cents
13: 1400 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp4. L'échelle 8/13e de ton (123,077 cents) divise l'intervalle d'8ve+3ce majeur (1600 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+3ceM (1600 cents), double octave+6tem (3200 cents), etc. : 8/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+3ceM et ses multiples. Le 4eme degré est proche de la quarte (492,308 cents contre 400 cents) et le dixième degré proche de l'octave bien qu'il soit plus grand (1230,77 contre 1200 cents) avec une différence de 30,77 cents.
00: 0
01: 123,077 cents
02: 246,154 cents
03: 369,231 cents
04: 492,308 cents
05: 615,385 cents
06: 738,462 cents
07: 861,538 cents
08: 984,615 cents
09: 1107,692 cents
10: 1230,769 cents
11: 1353,846 cents
12: 1476,923 cents
13: 1600 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp5. L'échelle de 9/13e de ton (138,4615... cents) divise l'intervalle d'8ve+4te augmentée ou quinte diminuée ou triton (1800 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve + 4te+ (1800 cents), triple octave (3600 cents), quadruple octave + 4te+ (5400 cents) etc. : 9/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve + 4te+ et ses multiples. Le 5eme degré est proche de la quinte (692,308 cents contre 700 cents).
00: 0 unison
01: 138,462 cents
02: 276,923 cents
03: 415,385 cents
04: 553,846 cents
05: 692,308 cents
06: 830,769 cents
07: 969,231 cents
08: 1107,692 cents
09: 1246,154 cents
10: 1384,615 cents
11: 1523,077 cents
12: 1661,538 cents
13: 1800 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkp6. L'échelle de 10/13e de ton (153,846... cents) divise l'intervalle d'8ve+6te mineur (2000 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+6te majeur (2000 cents), triple octave + 3ce M (4000 cents), etc. : 10/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve+6teM et ses multiples. Le second degré est proche de la tierce mineure (307,692 cents contre 300 cents), le quatrième degré est proche de la quarte augmentée (615,385 cents contre 600 cents). Il est intéressant de noter la présence de l'octave au 8eme degré, mais résolument faux où il peut garder sa fonction tout en n'étant pas à sa place.
00: 0 unison
01: 153,846 cents
02: 307,692 cents
03: 461,538 cents
04: 615,385 cents
05: 769,231 cents
06: 923,077 cents
07: 1076,923 cents
08: 1230,769 cents
09: 1384,615 cents
10: 1538,462 cents
11: 1692,308 cents
12: 1846,154 cents
13: 2000 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkpIci, il est intéressant de comparer l'échelle de 20/13e de ton de 307,692 cents à l'échelle de tierce mineur qui divise l'octave en 4 intervalles égaux de 300 cents :
rang 20/13e de ton tierce mineure différence 01 307,692 300 7,692 02 615,385 600 15,385 03 923,077 900 23,077 04 1230,769 1200 30,769 05 1538,46 1500 38,46 06 1846,152 1800 46,152 07 2153,844 2100 53,844 08 2461,536 2400 61,536 7. L'échelle de 11/13e de ton (169,2307cents) divise l'intervalle d'8ve+7e mineur (2200 cents) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que : 8ve+7e m (2200 cents), triple 8ve + 6te m (4400 cents), etc. : 11/13e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle d'8ve+7e m et ses multiples. Malgré que le 3e degré soit proche de la quarte (507,692 cents contre 500 cents) et que le 6e degré soit proche de la 7e mineur (1015,385 cents contre 1000 cents), cette échelle semble offrir la sensation d'une échelle heptatonique (7) divisant l'octave (1184,615 cents contre 1200 cents).
00: 0 unison
01: 169,231 cents
02: 338,462 cents
03: 507,692 cents
04: 676,923 cents
05: 846,154 cents
06: 1015,385 cents
07: 1184,615 cents
08: 1353,846 cents
09: 1523,077 cents
10: 1692,308 cents
11: 1861,538 cents
12: 2030,769 cents
13: 2200 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkpIci, il est intéressant de comparer l'échelle de 11/13e de ton de 307,692 cents au mode majeur qui divise l'octave en 7 intervalles inégaux :
rang 11/13e de ton mode Majeur différence 01 169,231 200 30,769 02 338,462 400 61,538 03 507,692 500 7,692 04 676,923 700 23,077 05 846,154 900 53,846 06 1015,385 1100 84,615 07 1184,615 1200 15,385
pour mémoire 1/4 de ton <=> 50 cents et 1/8e de ton <=> 25 cents8. L'échelle de 12/13e de ton (184,6153... cents) divise l'intervalle de double 8ve (2400) en 13 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de Z12 tels que la double octave (4), la quadruple octave (8) et l'octuple octave (16). 12/13e de ton est une échelle (double) octaviante. Mais je suis curieux de savoir comment elle sonne.
00: 0 unison
01: 184.615 cents
02: 369.231 cents
03: 553.846 cents
04: 738.462 cents
05: 923.077 cents
06: 1107.692 cents
07: 1292.308 cents
08: 1476.923 cents
09: 1661.538 cents
10: 1846.154 cents
11: 2030.769 cents
12: 2215.385 cents
13: 2400.000 cents
téléchargez le Scala tuning script .scl. download the tuning script for Kontakt sampler .nkpRécapitulation :
rang nom ambitus (intervalle) divisé division par octaviation 1 4/13e de ton 800 cents 6te m 13 au 19e degré : 1169 contre 1200 cents 2 5/13e de ton 1000 cents 7e m 13 au 16e degré : 1230 contre 1200 cents 3 7/13e de ton 1400 cents 8ve+2deM 13 au 11e degré : 1184 contre 1200 cents 4 8/13e de ton 1600 cents 8ve+3ce M 13 au 10e degré : 1230 contre 1200 cents 5 9/13e de ton 1800 cents 8ve+4te+ 13 6 10/13e de ton 2000 cents 8ve+6te M 13 7 11/13e de ton 2200 cents 8ve+7e m 13 au 7e degré : 1184 contre 1200 cents 8 12/13e de ton 2400 cents Dbl 8ve 13
Remarques :
Les 7 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z78 (1/13e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles impairs par 13. Les cycles sont tous des intervalles éléments de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les 7 intervalles tempérés « passages » sont la 6te mineur, la 7e mineur, l'8ve + 2de majeur, l'8ve + 3ce majeur, l'8ve + 4te augmentée, l'8ve + 6te majeur et l'8ve + 7e mineur. La prégnance de l'octave dans 5 échelles sur 7 reste importante malgré leur non-octaviation numérique et une division première. L'échelle de 4/13e de ton rencontre une octave au 19e degré, l'échelle de 5/13e de ton rencontre une octave au 16e degré, l'échelle de 7/13e de ton rencontre une octave au 11e degré, l'échelle de 8/13e de ton rencontre une octave au 10e degré, l'échelle de 11/13e de ton rencontre une octave au 7e degré.
PASSAGES DE L'UNE A L'AUTRE
transitions (pas transposition) d'échelles dans Z78
Le passage se fait lorsqu'il y a connexion pour une correspondance, c'est-à-dire un élément commun à deux ou plusieurs échelles. Bien sûr le passage peut se faire par « saut » sans la nécessité d'un élément commun ou d'une connexion.
Correspondances :
Mode des correspondances pour les 8 premières échelles non-octaviantes multiples de Z78 (1/13e de ton) :
Voici les 46 premières correspondances entre les 8 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z78 qui permettent la transition d'une échelle à une autre par au moins un élément commun (lignes grisées horizontales dans le graphe).
degré x/13e de ton cents nom des
intervalles dans Z12points de correspondances nombres de correspondances 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 24/13e 6×4/13e & 3×8/13e & 2×12/13e 3 5 20/13e 5×4/13e & 4×5/13e 5pour4 & 2×10/13e 3 4 16/13e 4×4/13e & 2×8/13e & 16/13e 3 3 12/13e 3×4/13e & 12/13e 2 2 10/13e 2×5/13e & 10/13e 2 1 8/13e 123,077 2×4/13e & 8/13e 2 0 1 0 origine 1 8 ...
Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/12 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/12e DE TON
nommable aussi Z72 :
5. multiples de 1/12e de ton
12√(6√2) = 72√2 = 21/72 = 1,0096735332285108621925214011186
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 12) 1/12 pour obtenir ses 12 échelles multiples :
nom rapport propriété 1 Echelle de 1/12e de ton (21/72)1 = 1,00967... symétrique octaviante = 72√2 2 Echelle de 2/12e de ton (21/72)2 = 1,01943... symétrique octaviante = 36√2 3 Echelle de 3/12e de ton (21/72)3 = 1,02929... symétrique octaviante = 24√2 4 Echelle de 4/12e de ton (21/72)4 = 1,03924... symétrique octaviante = 18√2 5 Echelle de 5/12e de ton (21/72)5 = 1,04929... asymétrique non-octaviante 6 Echelle de 6/12e de ton (21/72)6 = 1,05944... symétrique octaviante = 12√2 7 Echelle de 7/12e de ton (21/72)7 = 1,06969... asymétrique non-octaviante 8 Echelle de 8/12e de ton (21/72)8 = 1,08003... asymétrique octaviante = 9√2 9 Echelle de 9/12e de ton (21/72)9 = 1,09047... symétrique octaviante = 8√2 10 Echelle de 10/12e de ton (21/72)10 = 1,10102... asymétrique non-octaviante 11 Echelle de 11/12e de ton (21/72)11 = 1,11167... asymétrique non-octaviante 12 Echelle de ton (21/72)12 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2 13 Echelle de 13/12e de ton (21/72)13 = 1,13327... asymétrique non-octaviante 14 Echelle de 14/12e de ton (21/72)14 = 1,14423... asymétrique non-octaviante 15 Echelle de 15/12e de ton (21/72)15 = 1,15529... asymétrique non-octaviante 16 Echelle de 16/12e de ton (21/72)16 = 1,16646... asymétrique non-octaviante 17 Echelle de 17/12e de ton (21/72)17 = 1,17774... asymétrique non-octaviante
...
Voyons plus loin... suite des trouvailles des
divisions non symétriques pour d’autres échelles
: celles multiples de 1/11 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE
1/11e DE TON
nommable aussi Z66 :
6. multiples de 1/11e de ton
11√(6√2) = 66√2 = 21/66 = 1,0105575719944727895462310227068
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 11) 1/11 pour obtenir ses 11 échelles multiples :
nom rapport propriété 1 Echelle de 1/11e de ton (21/66)1 = 1,00967... symétrique octaviante = 66√2 2 Echelle de 2/11e de ton (21/66)2 = 1,01943... asymétrique octaviante = 33√2 3 Echelle de 3/11e de ton (21/66)3 = 1,02929... symétrique octaviante = 22√2 4 Echelle de 4/11e de ton (21/66)4 = 1,03924... asymétrique non-octaviante 5 Echelle de 5/11e de ton (21/66)5 = 1,04929... asymétrique non-octaviante 6 Echelle de 6/11e de ton (21/66)6 = 1,05944... asymétrique octaviante = 11√2 7 Echelle de 7/11e de ton (21/66)7 = 1,06969... asymétrique non-octaviante 8 Echelle de 8/11e de ton (21/66)8 = 1,08003... asymétrique non-octaviante 9 Echelle de 9/11e de ton (21/66)9 = 1,09047... asymétrique non-octaviante 10 Echelle de 10/11e de ton (21/66)10 = 1,10102... asymétrique non-octaviante 11 Echelle de ton (21/66)11 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2 12 Echelle de 12/11e de ton (21/66)13 = 1,13327... asymétrique non-octaviante 13 Echelle de 13/11e de ton (21/66)14 = 1,14423... asymétrique non-octaviante 14 Echelle de 14/11e de ton (21/66)15 = 1,15529... asymétrique non-octaviante 15 Echelle de 15/11e de ton (21/66)16 = 1,16646... asymétrique non-octaviante 16 Echelle de 16/11e de ton (21/66)17 = 1,17774... asymétrique non-octaviante
...
Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/10 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/10e DE TON
nommable aussi Z60 :
7. multiples de 1/10e de ton
10√(6√2) = 60√2 = 21/60 = 1,0105575719944727895462310227068
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 10) 1/10 pour obtenir ses 10 échelles multiples :
nom rapport propriété 1 Echelle de 1/10e de ton (21/60)1 = 1,01055... symétrique octaviante = 60√2 2 Echelle de 1/5e de ton (21/60)2 = 1,01943... symétrique octaviante = 30√2 3 Echelle de 3/10e de ton (21/60)3 = 1,02929... symétrique octaviante = 20√2 4 Echelle de 2/5e de ton (21/60)4 = 1,03924... asymétrique octaviante = 15√2 5 Echelle de 1/2 ton (21/60)5 = 1,04929... symétrique octaviante = 12√2 6 Echelle de 3/5e de ton (21/60)6 = 1,05944... symétrique octaviante = 10√2 7 Echelle de 7/10e de ton (21/60)7 = 1,06969... asymétrique non-octaviante 8 Echelle de 4/5e de ton (21/60)8 = 1,08003... symétrique non-octaviante échelle commune avec x/15e de ton 9 Echelle de 9/10e de ton (21/60)9 = 1,09047... asymétrique non-octaviante 10 Echelle de ton (21/60)10 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2 11 Echelle de 11/10e de ton (21/60)11 = 1,13327... asymétrique non-octaviante 12 Echelle de 6/5e de ton (21/60)12 = 1,13327... asymétrique non-octaviante 13 Echelle de 13/10e de ton (21/60)13 = 1,14423... asymétrique non-octaviante 14 Echelle de 7/5e de ton (21/60)14 = 1,15529... asymétrique non-octaviante 15 Echelle de 15/10e de ton (21/60)15 = 1,16646... asymétrique non-octaviante 16 Echelle de 8/5e de ton (21/60)16 = 1,17774... asymétrique non-octaviante rappel ! Une division paire donne une échelle symétrique (avec une valeur centrale), une division impaire donne une échelle asymétrique (sans valeur centrale).
...
Voyons plus loin... suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles : celles multiples de 1/9 de ton :
EXPLORATION DE L'ECHELLE DE 1/9e DE TON
nommable aussi Z54 :
8. multiples de 1/9e de ton
9√(6√2) = 54√2 = 21/54 = 1,0129187947249466155952769436929...
Multiplions par les entiers naturels (1; 2; 3; ...; 9) 1/9 pour obtenir ses 9 échelles multiples :
nom rapport propriété 1 Echelle de 1/9e de ton (21/54)1 = 1,01292... symétrique octaviante = 54√2 2 Echelle de 2/9e de ton (21/54)2 = 1,02601... asymétrique octaviante = 27√2 3 Echelle de 3/9e de ton (21/54)3 = 1,03926... symétrique octaviante = 18√2 4 Echelle de 4/9e de ton (21/54)4 = 1,05269... asymétrique non-octaviante 5 Echelle de 5/9e de ton (21/54)5 = 1,06629... asymétrique non-octaviante 6 Echelle de 6/9e de ton (21/54)6 = 1,08007... asymétrique octaviante = 9√2 7 Echelle de 7/9e de ton (21/54)7 = 1,09402... asymétrique non-octaviante 8 Echelle de 8/9e de ton (21/54)8 = 1,10816.. asymétrique non-octaviante 9 Echelle de ton (21/54)9 = 1,1224... symétrique octaviante = 6√2 10 Echelle de 10/9e de ton (21/54)10 = 1,13698... asymétrique non-octaviante 11 Echelle de 11/9e de ton (21/54)11 = 1,15167... asymétrique non-octaviante 12 Echelle de 12/9e de ton (21/54)12 = 1,16655... asymétrique non-octaviante 13 Echelle de 13/9e de ton (21/54)13 = 1,18162... asymétrique non-octaviante 14 Echelle de 14/9e de ton (21/54)14 = 1,19688.. asymétrique non-octaviante 15 Echelle de 15/9e de ton (21/54)15 = 1,21235... asymétrique non-octaviante 16 Echelle de 16/9e de ton (21/54)16 = 1,22801... asymétrique non-octaviante ...
Suite de toutes les échelles non-octaviantes par ordre de grandeur
multiples de 1/16e, 1/15e, 1/14e, 1/13e, 1/12e, 1/11e, 1/10e et 1/9e de ton
microintervalles (+ petit que le 1/2 ton)
01 4/15e de ton = 53,33.. cents divise 800 cents en 15 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 02 4/13e de ton = 61,53... cents divise 800 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 03 5/16e de ton = 62,5 cents divise 1000 cents en 16, 500 en 8, 250 en 4, 125 en 2 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 04 5/14e de ton = 71,42... cents divise 1000 cents en 14, 500 en 7 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 05 4/11e de ton = 72,72.. cents divise 800 cents en 11 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 06 5/13e de ton = 76,92... cents divise 1000 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 07 5/12e de ton = 83,33.. cents divise 1000 cents en 12, 500 en 6, 250 en 3 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 08 7/16e de ton = 87,5 cents divise 1400 cents en 16, 700 en 8, 350 en 4, 175 en 2 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 09 4/9e de ton = 88,88.. cents divise 800 cents en 9 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 10 5/11e de ton = 90,90.. cents divise 1000 cents en 11 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 11 7/15e de ton = 93,33.. cents divise 1400 cents en 15 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp macrointervalles (+ grand que le 1/2 ton)
12 8/15e de ton = 106,66.. cents divise 1600 cents en 15 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 13 7/13e de ton = 107,69... cents divise 1400 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 14 5/9e de ton = 111,11.. cents divise 1000 cents en 9 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 15 9/16e de ton = 112,5 cents divise 1800 cents en 16, 900 en 8 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 16 4/7e de ton = 114,28... cents divise 800 cents en 7 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 17 7/12e de ton = 116,66.. cents divise 1400 cents en 12, 700 en 6 (se résout à la 5te) Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 18 8/13e de ton = 123,07... cents divise 1600 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 19 5/8e de ton = 125 cents divise 1000 cents en 8, 500 en 4 (se résout à la 4te) Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 20 7/11e de ton = 127,27.. cents divise 1400 cents en 11 (509,09.. cents comme une 4te) Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 21 9/14e de ton = 128,57... cents divise 1800 cents en 14, 900 en 7 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 22 11/16e de ton = 137,5 cents divise 2200 cents en 16, 1100 en 8 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 23 9/13e de ton = 138,46... cents divise 1800 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 24 7/10e de ton = 140 cents divise 1400 cents en 10, 700 en 5 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 25 5/7e de ton = 142,85... cents divise 1000 cents en 7 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 26 8/11e de ton = 145,45.. cents divise 1600 cents en 11 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 27 11/15e de ton = 146,66.. cents divise 2200 cents en 15 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 28 10/13e de ton = 153,84... cents divise 2000 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 29 7/9e de ton = 155,55.. cents divise 1400 cents en 9 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 30 11/14e de ton = 157,14... cents divise 2200 cents en 14, 1100 en 7 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 31 4/5e de ton = 160 cents divise 800 cents en 5 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 32 13/16e de ton = 162,5 cents divise 2600 cents en 16, 1300 en 8 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 33 9/11e de ton = 163,63.. cents divise 1800 cents en 11 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 34 10/12e de ton = 166,66.. cents divise 2000 cents en 12, 1000 en 6, 500 en 3 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 35 11/13e de ton = 169,23... cents divise 2200 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 36 13/15e de ton = 173,33.. cents divise 2600 cents en 15 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 37 7/8e de ton = 175 cents divise 1400 cents en 8, 700 en 4 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 38 8/9e de ton = 177,77.. cents divise 1600 cents en 9 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 39 9/10e de ton = 180 cents divise 1800 cents en 10, 900 en 5 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 40 10/11e de ton = 181,81.. cents divise 2000 cents en 11 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 41 11/12e de ton = 183,33.. cents divise 2200 cents en 12 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 42 12/13e de ton = 184,61... cents divise 2400 cents en 13 (dbl 8ve div par 13) Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 43 13/14e de ton = 185,71... cents divise 2600 cents en 14, 1300 en 7 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 44 14/15e de ton = 186,66.. cents divise 2800 cents en 15 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 45 15/16e de ton = 187,5 cents divise 3000 cents en 16, 1500 en 8 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 1ers intervalles + grand que le ton
46 17/16e de ton = 212,5 cents divise 3400 cents en 16, 1700 en 8, 850 en 4, 425 en 2 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 47 16/15e de ton = 213,33.. cents divise 3200 cents en 15 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 48 15/14e de ton = 214,28... cents divise 3000 cents en 14 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 49 14/13e de ton = 215,38... cents divise 2800 cents en 13 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 50 13/12e de ton = 216,66.. cents divise 2600 cents en 12, 1300 en 6 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 51 12/11e de ton = 218,18.. cents divise 2400 cents en 11 (dbl 8ve div par 11) Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 52 11/10e de ton = 220 cents divise 2200 cents en 10, 1100 en 5 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp 53 10/9e de ton = 222,22.. cents divise 2000 cents en 9 Scala tuning script .scl Kontakt tuning script .nkp Téléchargez toutes les 53 échelles non-octaviantes (au format Scala .scl in .zip 21Ko)
Téléchargez toutes les 53 échelles non-octaviantes (au format Kontakt 2 .nkp in .zip 90Ko)
remarque : pour se familiariser avec ces 53 échelles non-octaviantes, on conseille dans un premier temps d'utiliser un instrument de musique familier.
Pianoteq 2 est un outil pratique qui lit directement les fichiers Scala .scl avec des sons de pianos modélisés.
svp, s'il y a, rapportez les erreurs
Rappel :53 ECHELLES NON-OCTAVIANTES ISSUES DE :
9 échelles non-octaviantes multiples de 1/16e de ton
Echelle de 5/16e de ton = 62,5 cents
Echelle de 7/16e de ton = 87,5 cents
Echelle de 9/16e de ton = 112,5 cents
Echelle de 5/8e de ton = 125 cents
Echelle de 11/16e de ton = 137,5 cents
Echelle de 13/16e de ton = 162,5 cents
Echelle de 7/8e de ton = 175 cents
Echelle de 15/16e de ton = 187,5 cents
Echelle de 17/16e de ton = 212,5 cents8 échelles non-octaviantes multiples de 1/15e de ton
Echelle de 4/15e de ton = 53,33.. cents
Echelle de 7/15e de ton = 93,33.. cents
Echelle de 8/15e de ton = 106,66.. cents
Echelle de 11/15e de ton = 146,66.. cents
Echelle de 4/5e de ton = 160 cents
Echelle de 13/15e de ton = 173,33.. cents
Echelle de 14/15e de ton = 186,66.. cents
Echelle de 16/15e de ton = 213,33.. cents7 échelles non-octaviantes multiples de 1/14e de ton
Echelle de 5/14e de ton = 71,42... cents
Echelle de 4/7e de ton = 114,28... cents
Echelle de 9/14e de ton = 128,57... cents
Echelle de 5/7e de ton = 142,85... cents
Echelle de 11/14e de ton = 157,14... cents
Echelle de 13/14e de ton = 185,71... cents
Echelle de 15/14e de ton = 214,28... cents9 échelles non-octaviantes multiples de 1/13e de ton
Echelle de 4/13e de ton = 61,53... cents
Echelle de 5/13e de ton = 76,92... cents
Echelle de 7/13e de ton = 107,69... cents
Echelle de 8/13e de ton = 123,07... cents
Echelle de 9/13e de ton = 138,46... cents
Echelle de 10/13e de ton = 153,84... cents
Echelle de 11/13e de ton = 169,23... cents
Echelle de 12/13e de ton = 184,61... cents (dbl oct div par 13)
Echelle de 14/13e de ton = 215,38... cents5 échelles non-octaviantes multiples de 1/12e de ton
Echelle de 5/12e de ton = 83,33.. cents
Echelle de 7/12e de ton = 116,66.. cents
Echelle de 10/12e de ton = 166,66.. cents
Echelle de 11/12e de ton = 183,33.. cents
Echelle de 13/12e de ton = 216,66.. cents7 échelles non-octaviantes multiples de 1/11e de ton
Echelle de 4/11e de ton = 54,54.. cents
Echelle de 5/11e de ton = 90,90.. cents
Echelle de 7/11e de ton = 127,27.. cents
Echelle de 8/11e de ton = 145,45.. cents
Echelle de 9/11e de ton = 163,63.. cents
Echelle de 10/11e de ton = 181,81.. cents
Echelle de 12/11e de ton = 218,18.. cents (dbl oct div par 11)4 échelles non-octaviantes multiples de 1/10e de ton
Echelle de 7/10e de ton = 140 cents
Echelle de 4/5e de ton = 160 cents
Echelle de 9/10e de ton = 180 cents
Echelle de 11/10e de ton = 220 cents5 échelles non-octaviantes multiples de 1/9e de ton
Echelle de 4/9e de ton = 88,88.. cents
Echelle de 5/9e de ton = 111,11.. cents
Echelle de 7/9e de ton = 155,55.. cents
Echelle de 8/9e de ton = 177,77.. cents
Echelle de 10/9e de ton = 222,22.. cents
Remarques
. Les micro-intervalles non-octaviants se situent entre le quart de ton (50 cents) et le demi-ton (100 cents), calculés à partir de l'échelle de 1/16e de ton. Pour affiner au-delà du 1/4 de ton, il faut descendre encore plus bas que le 1/16e de ton.
. Il y a + de macroéchelles non-octaviantes que de microéchelles non-octaviantes : 34 macroéchelles pour 11 microéchelles.
. Nous nous sommes arrêtés juste après le ton (200 cents).
. Il existe 53 échelles non-octaviantes calculées à partir du 1/16e de ton (12,5 cents) jusqu'au premier intervalle après le ton (200 cents).
. Il existe 2 échelles doubles octaviantes : l'échelle de 12/13e de ton (184,6153... cents) et celle de 12/11e de ton (218,18.. cents), aussi la largeur des intervalles empêche l'existence d'une note sensible qui oblige à l'octaviation, à la résolution dans l'octave bien qu'elles restent double-octaviantes.
. Il existe 51 échelles non-octaviantes calculées à partir du 1/16e de ton (12,5 cents) jusqu'au premier intervalle après le ton (200 cents).
. L'ambitus divisé des échelles non-octaviantes est toujours un intervalle appartenant à Z12 : 800 (6te m), 1000 (7e m) et 1400 (8ve + 2d M) pour les échelles microintervallaires puis 800 (6te m), 1000 (7e m), 1400 (8ve + 2d M), 1600 (8ve + 3ce M), 1800 (8ve + 4te+), 2000 (8ve + 6te m), 2200 (8ve + 7e m), 2400 (dbl 8ve), 2600 (dbl 8ve + 2de M), 3000 (dbl 8ve + 4te+) pour les échelles macrointervallaires. Ces ambitus non-octaviants forment des cycles appartenant à Z6 qui est la "gamme par ton de Debussy" puisque le ton est l'intervalle référant et divisé pour obtenir ces échelles non-octaviantes avec les échelles de : 1/16e de ton, 1/15e de ton, 1/14e de ton, 1/13e de ton, 1/12e de ton, 1/11e de ton, 1/10e de ton et 1/9e de ton.
. L'échelle de 7/12e de ton (116,66.. cents) se résout dans la quinte : le 6e et le 2d degrés sont sensibles.
. L'échelle de 5/8e de ton (125 cents) se résout dans la quarte : le 4e et 2d degrés sont sensibles.
.
...
notes do do# ré ré# mi fa fa# sol sol# la la# si do cents 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 intervalles unisson 2de m 2de M 3ce m 3ce M 4te 4te+ 5te 6te m 6te M 7e m 7e M 8ve Téléchargez toutes les 53 échelles non-octaviantes (au format Scala .scl in .zip 21Ko)
Téléchargez toutes les 53 échelles non-octaviantes (au format Kontakt 2 .nkp in .zip 90Ko)...
PASSAGES - TRANSFORMATIONS -TRANSITIONS
Nous allons maintenant former un tableau graphique avec toutes les 53 échelles non-octaviantes, afin de réaliser les passages des unes aux autres : seules, ces échelles n'ont que l'intérêt de proposer d'autres accordages. Ensembles, elles forment un champ de possibles. Ce que nous allons construire, est la possibilité de transformations (métaboles) entres elles, formant la toile élastique pour la formation des modes et des accords (chords) propre à leurs sonorités suivant leurs positions dans la toile à tel moment. Ce n'est que l'amorce d'un début... d'un champ scalaire pour le voyage et la formation de gammes originales et uniques.
C'est à ce stade que nous allons connaître l'utilité des modes des correspondances des 8 groupes d'échelles non-octaviantes : au lieu de mettre en correspondance 53 échelles telles quelles, nous allons mettre en correspondance les 8 modes des correspondances de chaque groupe d'échelles non-octaviantes appartenant aux 8 groupes 1/16e, 1/15e, 1/14e, 1/13e, 1/12e, 1/11e, 1/10e et 1/9e de ton :
mode des correspondances d'1/16e de ton non-octaviant p8
avec
mode des correspondances d'1/15e de ton non-octaviant p7
avec
mode des correspondances d'1/14e de ton non-octaviant p6
avec
mode des correspondances d'1/13e de ton non-octaviant p8
avec
mode des correspondances d'1/12e de ton non-octaviant
avec
mode des correspondances d'1/11e de ton non-octaviant
avec
mode des correspondances d'1/10e de ton non-octaviant
avec
mode des correspondances d'1/13e de ton non-octaviant
avec
mode des correspondances d'1/9e de ton non-octaviant...
Comment noter toutes les échelles pour les musiciens ?
Note
Le sampler est un instrument qui permet de contenir tout autre instrument, acoustique et électronique (successivement et simultanément). À la fois il rassemble, déclenche et module (contrôleurs MIDI) les échantillons. Son passage en instrument virtuel dans l'ordinateur permet de lire des échantillons à la fois multipistes et aussi longs que le disque dur le permet. Nous avons choisi de travailler avec Kontakt 2, car c'est le seul sampler natif à accepter les scripts que le programme Scala génère. Cependant Kontakt (comme tous les samplers natifs) a une tendance à rendre les sons moins présents une fois chargés et joués dans le sampler, à leur donner un flou qui superposé à d'autres, efface le contour de l'identification (nous avons partiellement résolu le problème en doublant le sample plus une petite cloche EQ maximum de +3dB environ entre 300 et 6kHz suivant le son). Aussi il ne peut comme certains instruments MIDI « hardware » (je pense aux samplers Ensoniq ou Kurzweil) changer d'échelle pendant le jeu en direct de la musique; avec le sysex (system exclusif) ou le MIDI tuning dump*. Pour changer d'échelle avec Kontakt et les autres pendant le jeu, il faut copier le même échantillon sur un autre canal MIDI avec une autre échelle : en changeant de canal, on change d'échelle. Ce sont des avantages contre des inconvénients, des inconvénients contre des avantages. En revanche, nous compositeurs nous devons composer avec ce qui nous est donné (pour les non-programmeurs inventeurs bricoleurs) et cela relève toujours de l'acrobatie à concorder un possible avec une possibilité.
Note de la note
* : presque tous les synthétiseurs Yamaha, du DX7II au VL-7 permettent le MIDI dump, aussi pour le changement d'échelle en temps réel pendant le jeu : mais peu de compositeurs à part quelques « originaux » comme Wendy Carlos (plus adepte du Kurzweil) et d'autres inconnus en ont exploité ces possibilités. Encore aujourd'hui la synthèse par modulation de fréquence** de John Chowning mélangée avec l'utilisation d'échelle autre que celle de 12 tons divisant l'octave*** reste marginale (Yamaha a stoppé la production de synthétiseurs à modulation de fréquence avec le TG77 et le SY99 en 1993 (?)). Tous les synthétiseurs et samplers n'ont pas la capacité de changer leur table d'accord (tuning table) interne. Et les peux de synthétiseurs qui ont une table d'accord variable (par exemple Korg) n'ont pas été construit avec une résolution et des écarts suffisants pour jouer des échelles, modes et gammes de toutes provenances. (the World Music Menu, 1987-2004 par Stephen Nachmanovitch). Reste ceux-ci : Kurzweil K2000, K2500, K2600 and K150 (étonnant que Scala n'est pas compatible avec Kurzweil : le sampler hardware le plus flexible au reaccordage). E-mu Proteus (all models), Morpheus, Ultra Proteus, Proteus 1000, 2000, 2500. Yamaha SY99, SY77, TG77, VL1, TX802, TX81Z, & DX7II. Ensoniq MR-61, MR-76, MR-Rack. Native Instruments FM7, Kontakt 2, Pro-53. Scala en énumère un peu plus (sans les samplers Kurzweil)****.
Note de la note de la note
** certains compositeurs « spectraux » se servent de cette synthèse comme générateur d'accords « non-harmoniques ».
*** avec ses modes usuels : majeur, mineur et pentatonique.
**** L'application « World Music Menu » de Stephen Nachmanovitch (adepte de « l'intonation juste » [pythagoricienne ou plus tôt Chaldéenne de Mésopotamie ou de Ling Lun en Chine] c'est-à-dire des rapports avec des nombres entiers) fut le premier programme informatique (que j'ai connu) proposant une collection de gammes d'accordages différents (du Monde) pour les synthétiseurs et samplers numériques. Sa durée de vie : 1987 - 2004. Stephen Nachmanovitch publie un petit ouvrage « Introduction to Tuning » (http://www.freeplay.com/Writings/Tuning.pdf) qui explique de façon assez claire quelques faits dans la manipulation occidentale des hauteurs dont voici quelques extraits traduits :
« En musique, il n'existe pas d'oreille absolue ou de hauteur absolue. On perçoit toujours une hauteur en rapport et en relation avec un ton fondamental ou un ton référent. » Ce qui est nommée : « oreille absolue », est en fait une excellente mémoire qui reconnait les hauteurs d'une échelle ou d'un mode en fonction du diapason référent de 440Hz pour le la3, ainsi que ses intervalles. (...) « Les gammes, en général, possèdent 5, 7 ou 12 intervalles. » (...) « Une « note » ne représente pas un seul ton, mais toute une région de tons qui sont proches les uns des autres, mais distincts les uns des autres. Les différences de la même note (par exemple do) dépendent du contexte musical de la gamme employée. » (...) « Comme il est difficile de se représenter et de comparer des rapports de nombres entiers (exemple lequel de 64/45 est plus grand ou plus petit que 45/32 ?), le musicologue Alexandre Ellis invente en 1885 le cent, dont 100 cents représente le demi-ton tempéré. Convertir les rapports (x/y) en cents permet une comparaison rapide des différents intervalles. La formule de conversion est : cents = log(ratio)/log(2) x 1200. Ce qui nous donne par exemple pour la quinte 3/2 une valeur arrondie à 702 cents (701,9550008653874177444867327349... = log [3/2] / log [2] x 1200) au lieu des 700 cents du tempérament égal. Ou pour la tierce majeure de 5/4, 386 cents au lieu de 400 cents du tempérament égal. Dans l'exemple ci-dessus 64/45 correspond à 610 cents et 45/32 correspond à 590 cents contre les 600 cents du triton tempéré. Un système similaire au cent fut développé en Chine, basé sur les puissances de 3. »
Critique
La croyance à « l'intonation juste » provient de l'ancienne querelle entre « consonance » et « dissonance », pensant que des rapports de nombres entiers (entiers naturels éléments de N) permettent la consonance alors que des rapports de nombres non entiers (tels que les nombres réels élément de R) ne le permettent pas (ou provoquent la dissonance). Cette querelle aujourd'hui n'a plus de sens, car depuis plus d'une cinquantaine d'années les musiciens et les compositeurs ont introduit les sons jugés autrefois comme « bruits » dans leur musique (ce qui a permis d'utiliser une pléthore de sonorités inusitées). La notion d'agréable et d'insupportable n'a rien à voir avec la musique et relève plus du domaine de la morale et de la culture : voir dans ce sens notre abaque « musique, son, bruit, agréable, insupportable ». Pour Stephen Nachmanovitch plus les rapports de nombres entiers sont grands plus ils sont dissonants, bien qu'il affirme la beauté de l'intervalle chinois Seven Liü de 729/512 ou arabe Rahawi de 262144/177147. Mathématiquement les rapports d'égalité du périmètre d'un cercle π2 (onde fondamentale) ne se vérifie pas avec ses multiples 2/2, 4/4, 8/8, 16/16, etc. puisque π tendrait vers 2 qui correspond au diamètre du cercle : c'est un paradoxe (Pi = 3,1415926535897932384626433832795...). Ce qui signifie que si deux courbes tendent l'une vers l'autre, elles ne sont pas nécessairement de même longueur. Ce qui nous permet de conclure que le calcul ne rejoint pas nécessairement notre perception et que les notions de juste et de faux sont aussi relatives que la morale d'une culture de ce qui est acceptable ou pas.
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