Exploration scalaire 1

découverte d'échelles inouïes .1

 

C'est à l'écoute de la « gamme par ton » de Debussy (qui a coloré toute la musique impressionniste du XIXe siècle) que nous avons pris conscience de l'importance de la sonorité des échelles. Cette gamme est en fait une échelle de l'octave divisée en 6 intervalles similaires (nommée mathématiquement 200 cents et 2 puissance 1/6 ou 6√2 = 1,12246). Au conservatoire de Varsovie, nous fumes impressionné par l'extrême variété des modes de la musique des Tziganes de l'Est : où presque chaque état d'âme a son mode musical. Les modes de la musique indienne dont les modes tziganes sont dérivés sont élaborés dans le même sens. Béla Bartók en a recueilli quelques-uns en Roumanie, Bulgarie et Hongrie. Nous découvrîmes ensuite les modes à transpositions limitées d'Olivier Messian et les manipulations scalaires de Iannis Xenakis et Pierre Barbaud reprises et développées par André Riotte : tous ces arrangements de hauteurs, impriment des sensations différentes, dans notre système de projections perceptives des sonorités. Une même musique avec une gamme différente, change (voir infra avec la valse de Chopin) : elle n'est pas perçue et reçue pareil : les proportions et ses attachements émotionnels sont perturbés [1].

Ce qui nous intéresse dans l'utilisation de la multitude d'échelles possible, ce sont les sonorités de chacune d'elle. Chaque intervalle possède sa propre sonorité (jusqu'à la limite du spectre imprévisible des 2 sons constituants l'intervalle) : une identification de sensations particulières propre à chacun. La composition des intervalles constitua le premier pas vers une musique savante, celle d'élaborer un système abstrait d'échanges et de passages pour la composition de musiques très diverses au-delà du simple accompagnement « à la fondamentale » du chant. Le système tempéré de 12 tons a fait son temps depuis plus de trois siècles : c'est un système qui a permis ses passages et ses déplacements (transpositions, modulations, etc.), mais qui reste fermé sur lui-même : il fut élaboré et construit sur deux modes : le majeur et le mineur. Depuis le début du XXe siècle, les compositeurs à partir des propositions de Schoenberg et Wyschnegradsky essayent de proposer autre chose. Où l'un proposa un nouveau système avec le dodécaphonisme et l'autre proposa « une multiplicité de milieux sonores tempérés ultrachromatiques à base de micro-intervalles » (J.E. Marie) [2]. C'est le début de la révolution musicale permanente que traversent un Stockhausen, un Cage et qui se confronte jusqu'à aujourd'hui à une résistance farouche de la « tradition tonale » qui garde malgré tout sa domination dans la création contemporaine. C'est le paradoxe contemporain de l'histoire occidentale de la musique, qui depuis son origine offre une succession de musiques qui se renouvellent par l'apport de sonorités et de savoir-faire compositionels différents parfois inattendus. Une tradition historique occidentale du renouvellement artistique brisé par l'exploitation de la rentabilité médiocratique d'aujourd'hui.

Diviser les cordes pour créer des échelles et des modes musicaux est une pratique de la Grèce antique (ton vient de tendre une corde musicale). Elle est toujours en pratique de nos jours. La culture en Chine est beaucoup plus ancienne, pour former des modes de hauteurs elle ajustait des bambous, les cordes aussi tout comme la culture de l'Inde sur des proportions. Les Tziganes ont modifié et transporté ces modes vers l'Europe. Pourquoi n'avons-nous retenu que deux modes (majeurs et mineur) des dizaines emmenés par les Tziganes de l'Inde ? Pourquoi durant toute l'histoire occidentale de la musique, depuis 2500 ans tous ajustent des gammes de hauteurs (musiciens et non-musiciens) ? Pourquoi aussi Z12 (12 divisions équidistantes de l'octave = le demi-ton tempéré) en 300 ans c'est imposé au détriment des autres modes ? Pourquoi est-il tant difficile de sortir de Z12 ? Pourquoi toutes les autres échelles autres que Z12 sonnent faux ? [3], etc.

Ce que nous proposons ici à la suite de ceux cités supra : à partir d'une exploration systématique des échelles et de leurs propriétés (puis de l'arrangement modal et de leur transposition en gammes, etc.), est d'extraire un système ouvert pluridimensionnel en fonction de nos découvertes. Nous sommes avides d'ajouter un nombre de sonorités nouvelles et d'y naviguer au prorata du nombre de combinaisons d'intervalles possibles, c'est-à-dire à l'infini : sans fermeture pour découvrir d'autres sensations. Nous nous orienterons plus vers la prospection des échelles asymétriques inouïes avec et sans redondance (cycliques et non-cycliques) où les intervalles basiques de la série harmonique seront évités : leur forte prégnance fait masque aux autres encore inconnus. Nous essaierons de retirer le voile aux à priori simplistes de la perception de « hauteurs absolues » pour proposer une mobilité permanente dans les connexions systémiques des hauteurs qui ne le deviendront plus par leurs multidimensionnalités [4] [5].

A quoi sert cette architecture mouvante que nous nommons pompeusement Champs des Systèmes Scalaires (Scalar System Fields) ? A créer des tapis mouvants de jeux, pratiques pour la composition musicale immédiate systémique afin d'entendre puis d'écouter d'autres choses dans la délectation.

 

 

Notes
[1] La représentation harmonique (puis spectrale) de la superposition des sons simples est la suite logique de la pensée d'Aristote puis des polyphonistes de la « renaissance » et de la pensée exacte de Jean-Philippe Rameau « des lumières », qu'il développe dans son traité : « Nouvelles réflexions sur le principe de l'harmonie » en 1752 ou 1722. La décomposition d'un son complexe en plusieurs sons simples de Fourier (des sinus pour la représentation FFT : Fast Fourier Transform) où chaque fréquence sonique coïncide à une ligne et la superposition de ces lignes forme un spectre de fréquences harmonique ou non (un ensemble de fréquences distinctes qui caractérisent en partie la reconnaissance possible de ce son : mais cette représentation sonique des fréquences vibratoires reste incomplète pour permettre une reconnaissance de ce son. Citons pour exemple les programmes ou synthétiseurs de resynthèse spectrale d'un échantillon sonique enregistré : le son resynthétisé ne ressemble pas au son enregistré, mais l'imite.). Ce type de conception à permis d'imaginer la synthèse additive dont le premier instrument résultant est l'orgue jusqu'aux différentes synthèses analogiques d'hier et numériques d'aujourd'hui. Dans notre idée des Champs des Systèmes Scalaires (Scalar System Fields), les synthèses se fondent dans leurs scalérisations multidimensionnelles et perpétuellement mobiles.
[2] La première incursion dans le micro-intervalle occidentale s’est produite dans la continuité de la division tempérée de l’octave (rappel : le tempérament permet la modulation dans différentes tonalités en altérant et ajustant les intervalles harmoniques afin qu’ils puissent se correspondre à différents registres cela par une division exacte de l’octave). Des précurseurs comme Haba, Carillo et Wyschnegradsky cités par Jean Etienne Marie ont continué la division du ton tempéré : du ton entier jusqu’au 1/16e de ton (considéré comme le plus petit intervalle de hauteur perceptible pour les oreilles fines et entraînées). [Nous savons que la distinction du plus petit intervalle dépend de la texture du son. Avec certains sons la perception d’un intervalle reste floue ou difficilement discernable alors qu'avec d’autres il se distingue très bien. C'est une proportion entre la densité sonique d'un son et le plus petit intervalle de hauteur détectable. Ces derniers sont retenus pour la distinction des intervalles de l’échelle et les autres pour former des amas ou agrégats de masses sonores pour un jeu toujours sur la sonorité.]
[3] nous pourrions déjà répondre à ces trois dernières questions : le système tonal est d'une grande souplesse et permet des modulations et des transpositions (des changements de sonorités dans le système d'une même et unique échelle : Z12) que le dodécaphonisme par exemple ne permet pas, malgré ses innombrables combinatoires il n'a qu'une sonorité. Le système tonal permet l'atonalité dont elle fait partie ainsi que le dodécaphonisme de Schoenberg et la gamme par ton de Debussy, même les modes à transpositions limitées de Messian sont inclus dans le système tonal et tous les essais d'accords de l'échelle Z12 de Pythagore, Zarlino, mesotonic, Werkmeister, Salinas, Kirnberger, Rameau, etc. dont aucun ne touche à la "stabilité" sonnante du mode majeur. Si Z12 règne toujours c'est que l'on a pas trouvé mieux à sa souplesse opérationnelle fermée : un système qui permet de moduler de transformer, de transposer, etc., d'échelles, de modes, de gammes pour développer un grand nombre de sonorités scalaires sur lui-même (qui compte 3301 modes de 5 à 12 tons) et dont chacun tourne autour sans s'en détacher. Nous nous efforçons de proposer ici avec nos Champs des Systèmes Scalaires (Scalar System Fields) une ouverture. Au-delà d'un système de « hauteurs » tonales fixes, nous désirons un métasystème mouvant de forces centripètes et centrifuges multiples. Si les autres échelles autres que Z12 nous « sonnent fausses » c'est bien à cause de 300 années de culture univoque dans un système devenu autoritaire par autocratie (qui se retrouve dans le système même, avec des mots comme « dominante », « sous-dominante », « sensible », etc.).
[4] nous avons plus d'une trentaine d'années d'exploitation exploratoire d'échelles inouïes désystématisées, mais tout comme nos prédécesseurs, nous n'avons pu insuffler un intérêt pour ces recherches à sonner autrement (la résistance des habitudes). Même avec l'apport de l'informatique, les possibles restent faibles et à l'état de bricolage et de bidouillage : en trente années il n'a existé aucun programme de construction de systèmes ouverts d'échelles en temps réel pour la composition musicale, malgré quelques essais inachevés. Ce type de programme permettrait un accès aisé et articulé à travers divers systèmes actifs au monde interactif des échelles, modes, gammes de hauteurs toujours en mouvement grâce à ses nouvelles opérations en interaction suivant les qualités sonores des sons mis en mouvement et que nous tentons de découvrir ici. Notons que Harry Partch (1901-1976) est le compositeur connu qui poussa le plus loin la réalisation d'un autre système de hauteurs avec son orchestre d'instruments dédiés.
[5] Nous ne ferons pas une incursion dans les mathématiques profondes pour devenir incompréhensibles au musicien. L'avantage de la musique est l'expérimentation immédiate sonore des calculs spéculatifs et exploratoires. Et nous tiendrons tout le long de nos explorations à rester un homme musical.

 

 

1re exploration
(la forme divisionnaire de l'outil)

 

Mettre en question le principe opératoire

La forme opératoire est l'outil qui permet l'exploration et la représentation de la découverte. Mais la découverte est intimement liée à l'outil qui l'a découvre. Nous voulons dire que la forme de ce qui est découvert aura obligatoirement la forme de l'outil qui le découvre. C'est en ce sens qu'il est important de multiplier les outils différents pour une même tâche afin de se rendre compte des résultats différents de la même découverte. Exemple l'outil : division (qui est un opérateur). Nous constatons que la superposition de divisions par la suite des entiers { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16} donne une forme identifiable, en miroir (symétrique) unique. Quel que soit le nombre de divisions, la forme reste identique. Cela confirme qu'une suite d'entiers divisant ne donne pas un résultat linéaire. Pourtant, cette forme opératoire est utilisée pour tous les éléments de la musique : la division des intervalles de « hauteurs », la détection les échelles tempérées, la formation des intervalles de durée : des valeurs rythmiques rationnelles (tels que : le duolet, triolet, quartolet, quintolet, sextolet, septolet, etc., ou la métrique avec ses mesures à 2, 3, 4, 5, 6, 7 temps, etc.). Ces divisions opératoires servent aussi à localiser les positions des harmoniques sur une corde ou un tube, etc. Elle fait tout, mais les divisions paires, impaires ou premières (par les nombres premiers) donnent des résultats différents dans sa même forme donnée [1] :

.

 

La représentation de la forme géométrique de la division n'est pas équidistante comme nous aurions tendance à le penser des expériences perceptives. Plus les divisions sont grandes plus elles sont resserrées entres elles. C'est une forme unique qui donne à percevoir dans le même sens. Notre question est : y a-t-il d'autres formes divisionnaires ? Et si oui comment sont-elles percevables dans un même contexte ? Comment peut-on les représenter ? Nos perceptions exponentielles peuvent-elles avoir une différence (-), un inverse (1/x) et un inverse de la différence (-1/x) par exemple, pour rester dans le domaine des opérations simples ?

...

- Afin d'écouter nos exploration d'échelles, nous utilisons le programme multiplateforme Scala dont ses fichiers prennent le suffixe : .scl. Avec le « relaying » de Scala chacun peut jouer et écouter en temps réel (avec un clavier et une interface MIDI) les échelles téléchargées. Scala est un freeware téléchargeable à http://www.huygens-fokker.org/scala. Ce programme en outre exporte les échelles, modes et gammes vers un très grand nombre d'instruments de musique électronique. Nous mettons aussi à disposition les tuning script pour celles et ceux qui possèdent le sampler Kontakt de chez Native Instruments. -

 

Notes
[1] La division au milieu (:2) dans une octave correspond à l’intervalle de 3 tons (6 ½ tons) plus connu sous le nom de triton ou de quarte augmentée (4te+) ou quinte diminuée (5te-) ou « diabolus in musica » dont l’usage était prohibé au XIVe et XVe siècle par l’Eglise catholique. Cette division « dans le milieu » se retrouve à chaque division paire de l’intervalle.

2de exploration
les échelles multiples du ton (200 cent ou 1,12246)

 

Une division tempérée du ton correspond toujours à un nombre de hauteurs par octave :
Une division tempérée du ton par les entiers correspond à un nombre de hauteurs paires par octave et génère des intervalles redondants :

Ce qui nous intéresse : multiplier ces intervalles afin de trouver des divisions non symétriques pour d’autres échelles multiples s'extrayant des intervalles-gouffres telles que l'octave, la quinte ou la quarte.

 

1. multiples de 1/16^e de ton

Commençons d'abord avec l'échelle de 1/16e de ton nommable aussi Z96 :

Echelle d’ 1/16e de ton	(1/161)	=	1,00725	<=>	12,5 cents	symétrique octaviante
Echelle de 1/8e de ton	(1/162)	=	1,0145526	<=>	25 cents	symétrique octaviante
Echelle de 3/16e de ton	(1/163)	=	1,02191	<=>	37,5 cents	symétrique octaviante	download .scl file
Echelle d ’ 1/4 de ton	(1/164)	=	1,02932	<=>	50 cents	symétrique octaviante
Echelle de 5/16e de ton	(1/165)	=	1,03678	<=>	65,5 cents	symétrique non-octaviante
Echelle de 3/8e de ton	(1/166)	=	1,0443	<=>	75 cents	symétrique octaviante	download .scl file
Echelle de 7/16e de ton	(1/167)	=	1,05187	<=>	87,5 cents	symétrique non-octaviante
Echelle d ’ 1/2 de ton	(1/168)	=	1,05946	<=>	100 cents	symétrique octaviante
Echelle de 9/16e de ton	(1/169)	=	1,06717	<=>	112,5 cents	symétrique non-octaviante
Echelle de 5/8e de ton	(1/1610)	=	1,07491	<=>	125 cents	symétrique non-octaviante
Echelle de 11/16e de ton	(1/1611)	=	1,08448	<=>	137,5 cents	symétrique non-octaviante
Echelle de 3/4 de ton	(1/1612)	=	1,09055	<=>	150 cents	symétrique octaviante	download .scl file
Echelle de 13/16e de ton	(1/1613)	=	1,09846	<=>	162,5 cents	symétrique non-octaviante
Echelle de 7/8e de ton	(1/1614)	=	1,10642	<=>	175 cents	symétrique non-octaviante
Echelle de 15/16e de ton	(1/1615)	=	1,11445	<=>	187,5 cents	symétrique non-octaviante
Echelle de ton	(1/1616)	=	1,12253	<=>	200 cents	symétrique octaviante

. remarque 1 : Echelle de ton <=> 2^1/6 = 1,12246 contre 1,12253 pour 1/16¹⁶ prouve la relativité de l’exactitude des chiffres pour l’échelle de ton mieux connue sous le nom de gamme par ton et attachée à Debussy. Cette échelle à la sonorité si particulière.
. remarque 2 : il n'y a pas d'échelle asymétrique non-octaviante et d'échelle asymétrique octaviante dans les possibilités de Z96.

 

Graphe des 16 échelles multiples de 1/16^e de ton :

Nous avons 8 échelles multiples de l’échelle d’1/16e de ton qui ne sont pas symétriques dans l’octave et même l’ignorent :

telles que les échelles de :

5/16e	de ton	62,5	cents	1,03678
7/16e	de ton	87,5	cents	1,05187
9/16e	de ton	112,5	cents	1,06717
5/8e	de ton	125	cents	1,07491
11/16e	de ton	137,5	cents	1,0827
13/16e	de ton	162,5	cents	1,09846
7/8e	de ton	175	cents	1,10642
15/16e	de ton	187,5	cents	1,11445

8 échelles non-octaviantes asymétriques et cycliques multiples de l’échelle 1/16 de ton (12,5 cents) 96√2=1,00725.
Graphe des 8 échelles asymétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/16^e de ton :

Même si la symétrie de l'octave par l'existence du triton n'apparait pas, ces échelles divisent un cycle par un nombre pair et donc reconnaissent un centre de symétrie dans leurs divisions.

Propriétés de ces 8 échelles non octaviantes multiples de 1/16e de ton (12,5 cents ou 96√2=1,00725) :

1. L'échelle 5/16e de ton (62.5 cents) divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de septième mineur (2 . 4te) et octave+3ce mineure (3 . 4te), etc. : 5/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 19e degré, même si celui-ci est plus petit (1187,5 cents). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 062.5 cents
2: 125 cents
3: 187.5 cents
4: 250 cents
5: 312.5 cents
6: 375 cents
7: 437.5 cents
8: 500 cents

2. L'échelle 7/16e de ton (87.5 cents) divise l'intervalle de quinte (700 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+2de majeur (2 . 5te), etc. : 7/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 5te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 14e degré, même si celui-ci est plus grand (1225 cents). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 087.5 cents
2: 175 cents
3: 262.5 cents
4: 350 cents
5: 437.5 cents
6: 525 cents
7: 612.5 cents
8: 700 cents

3. L'échelle 9/16e de ton (112.5 cents) divise l'intervalle de sixte majeure (900 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+4te+ (2 . 6teM), etc. : 9/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6teM et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 11e degré, même si celui-ci est plus grand avec battement (1237,5 cents). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 112.5 cents
2: 225 cents
3: 337.5 cents
4: 450 cents
5: 562.5 cents
6: 675 cents
7: 787.5 cents
8: 900 cents

4. L'échelle 5/8e de ton (125 cents) est inclus (et multiple par 2) dans l'échelle 5/16e de ton. 5/8e de ton divise l'intervalle de quarte (500 cents) en 4 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de septième mineur (2 . 4te) et octave+3ce mineure (3 . 4te), etc. : 5/8e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 4te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 10e degré, même si celui-ci est plus grand (1250 cents contre 1200). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 125 cents
2: 250 cents
3: 375 cents
4: 500 cents

5. L'échelle 11/16e de ton (137.5 cents) divise l'intervalle de septième majeur (1100 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+septième mineur (2 . 7eM), etc. : 11/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 7eM et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 9e degré, même si celui-ci est plus grand avec battement (1237,5 cents). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 137.5 cents
2: 275 cents
3: 412.5 cents
4: 550 cents
5: 687.5 cents
6: 825 cents
7: 962.5 cents
8: 1100 cents

6. L'échelle 13/16e de ton (162.5 cents) divise l'intervalle d'octave et seconde mineure (1300 cents) en 8 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de deux octaves+seconde majeur, etc. : 13/16e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2dem et ses multiples. Aucune prégnance d'intervalles connus trop importante. téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 162.5 cents
2: 325 cents
3: 487.5 cents
4: 650 cents
5: 812.5 cents
6: 975 cents
7: 1137.5 cents
8: 1300 cents

7. L'échelle 7/8e de ton (175 cents) est inclus (et multiple par 2) dans l'échelle 7/16e de ton. 7/8e de ton divise l'intervalle de quinte (700 cents) en 4 intervalles équidistants et reproduit les intervalles d'octave+2de majeur (2 . 5te), etc. : 7/8e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 5te et ses multiples. Reste la prégnance de l'octave au 7e degré, même si celui-ci est plus grand (1225 cents). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 175 cents
2: 350 cents
3: 525 cents
4: 700 cents

8. L'échelle 15/16e de ton (187.5 cents) divise l'intervalle d'octave et tierce mineur (1500 cents) en 8 intervalles équidistants. Aucune prégnance d'intervalles connus trop importante. téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0 unison
1: 187.5 cents
2: 375 cents
3: 562.5 cents
4: 750 cents
5: 937.5 cents
6: 1125 cents
7: 1312.5 cents
8: 1500 cents

Remarques :
Les 8 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z96 (1/16e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles pairs par 8 ou 4. Le cycle est un intervalle élément de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les intervalles « passages » sont la 4te, la 5te, la 6te M, la 7e m, la 7e M, l'8ve+2de m, l'8ve+2de M et l'8ve+3ce m. La prégnance de l'octave dans 6 échelles sur 8 reste forte (malgré leur non-octaviation numérique) : l'octave a une force d'attraction perceptive comparable à un trou noir : les micro-intervalles satellitaires sont engloutis dans sa présence. Nous verrons quoi faire plus tard avec les échelles 13/16e de ton (162.5 cents) et 15/16e de ton (187.5 cents).

 

Passages de l'une à l'autre
(transitions d'échelles Z96 (pas transposition))

Le passage se fait lorsqu'il y a connexion pour une correspondance, c'est-à-dire un élément commun à deux ou plusieurs échelles. Bien sûr le passage peut se faire par « saut » sans la nécessité d'un élément commun ou d'une connexion.

Correspondances :
Voici les 31 premières correspondances entre les 8 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z96 qui permettent la transition d'une échelle à une autre par au moins un élément commun (lignes grisées horizontales dans le graphe).
01. 2 . 5/16e & 1 . 5/8e
02. 2 . 7/16e & 1 . 7/8e
03. 3 . 5/16e & 1 . 15/16e
04.. 4 . 5/16e & 2 . 5/8e
05. 4 . 7/16e & 2 . 7/8e
06. 6 . 5/16e & 3 . 5/8e & 2 . 15/16e
07. 7 . 5/16e & 5 . 7/16e (2 échelles côte à côte dans un 7 pour 5)
08. 4te pour 8 . 5/16e & 4 . 5/8e
09. 6 . 7/16e & 3 . 7/8e
10. 9 . 5/16e & 5 . 9/16e & 3 . 15/16e
11. 10 . 5/16e & 5 . 5/8e
12. 11 . 5/16e & 5 . 11/16e (5te - 1/16e)
13. 5te pour 8 . 7/16e & 4 . 7/8e
14. 12 . 5/16e & 6 . 5/8e & 4 . 15/16e
15. 9 . 7/16e & 7 . 9/16e (2 échelles côte à côte dans un 9 pour 7)
16. 6 . 11/16e & 5 . 13/16e (2 échelles côte à côte dans un 6 pour 5)
17. 14 . 5/16e & 10 . 7/16e (2 échelles côte à côte dans un 14 pour 10) & 7 . 5/8e & 5 . 7/8e (6te M - 1/8e de ton)
18. 15 . 5/16e & 5 . 15/16e
19. 11 . 7/16e & 7 . 11/16e
20. 7em pour 16 . 5/16e & 8 . 5/8e
21. 12 . 7/16e & 6 . 7/8e
22. 18 . 5/16e & 10 . 9/16e & 9 . 5/8e (2 échelles côte à côte dans un 10 pour 9) & 6 . 15/16e
23. 13 . 7/16e & 7 . 13/16e
24. 14 . 7/16e & 7 . 7/8e
25. 11 . 9/16e & 9 . 11/16e
26. 20 . 5/16e & 10 . 5/8e
27. 21 . 5/16e & 15 . 7/16e (2 échelles côte à côte dans un 21 pour 15) & 7 . 15/16e
28. 22 . 5/16e & 11 . 5/8e & 9 . 11/16e (2 échelles côte à côte dans un 11 pour 9)
29. 8ve+2deM pour 16 . 7/16e & 8 . 7/8e
30. 13 . 9/16e & 9 . 13/16e
31. 8ve+3cem pour 24 . 5/16e & 12 . 5/8e & 8 . 15/16

 

La réunion des correspondances donne le mode suivant (rappel : 1/16e de ton <=> 12,5 cents) :

n°	x/16e de ton	cents	nom des intervalles dans Z12	points de correspondances	nombre de correspondances
0	1	0	origine	1	8
1	10/16e	125		(2 . 5/16) (1 . 5/8)	2
2	14/16e	175		(2 . 7/16) (1 . 7/8)	2
3	15/16e	187,5		(3 . 5/16) (1 . 15/16)	2
4	20/16e	250		(4 . 5/16) (2 . 5/8)	2
5	28/16e	350		(4 . 7/16) (2 . 7/8)	2
6	30/16e	375		(6 . 5/16) (3 . 5/8) (2 . 15/16)	3
7	35/16e	437,5		(7 . 5/16) (5 . 7/16) (c.à.c 7 pour 5)	2
8	40/16e	500	4te	(8 . 5/16) (4 . 5/8)	2
9	42/16e	525		(6 . 7/16) (3 . 7/8)	2
10	45/16e	562,5		(9 . 5/16) (5 . 9/16) (3 . 15/16)	3
11	50/16e	625		(10 . 5/16) (5 . 5/8)	2
12	55/16e	687,5		(11 . 5/16) (5 . 11/16) 5te - 1/16e	2
13	56/16e	700	5te	(8 . 7/16) (4 . 7/8)	2
14	60/16e	750		(12 . 5/16) (6 . 5/8) (4 . 15/16)	3
15	63/16e	787,5		(9 . 7/16) (7 . 9/16) (c.à.c 9 pour 7)	2
16	66/16e	825		(6 . 11/16) (5 . 13/16) (c.à.c 6 pour 5)	2
17	70/16e	875		(14 . 5/16) (10 . 7/16) (c.à.c 14 p. 10) (7 . 5/8) (5 . 7/8) (6teM-1/8e ton)	4
18	75/16e	937,5		(15 . 5/16) (5 . 15/16)	2
19	77/16e	962,5		(11 . 7/16) (7 . 11/16)	2
20	80/16e	1000	7e m	(16 . 5/16) (8 . 5/8)	2
21	84/16e	1050		(12 . 7/16) (6 . 7/8)	2
22	90/16e	1125		(18 . 5/16) (10 . 9/16) (9 . 5/8) (c.à.c 10 pour 9) (6 . 15/16)	4
23	91/16e	1137,5		(13 . 7/16) (7 . 13/16)	2
24	98/16e	1225		(14 . 7/16) (7 . 7/8)	2
25	99/16e	1237,5		(11 . 9/16) (9 . 11/16)	2
26	100/16e	1250		(20 . 5/16) (10 . 5/8)	2
27	105/16e	1312,5		(21 . 5/16) (15 . 7/16) (c.à.c 21 pour 15) (7 . 15/16)	3
28	110/16e	1375		(22 . 5/16) (11 . 5/8) (9 . 11/16) (c.à.c 11 pour 9)	3
29	112/16e	1400	8ve+2deM	(16 . 7/16) (8 . 7/8)	2
30	117/16e	1462,5		(13 . 9/16) (9 . 13/16)	2
31	120/16e	1500	8ve+3cem	(24 . 5/16) (12 . 5/8) (8 . 15/16)	3
	etc.	etc.		etc.

Ce mode des correspondances est une passerelle de passage où toutes les 8 échelles de cette famille où d'autres peuvent se connecter : comparable à la fonction de l'aéroport qui s'intègre dans un réseau plus vaste. téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler.

Remarques :
. Dans ce contexte, il y a plus de hauteurs qui correspondent que de hauteurs isolées.
. Il serait intéressant de continuer la construction du « mode des correspondances » au-delà et en deçà pour comprendre sa forme...
. Les connexions semblent s'intensifier entre la 4te et la 7e mineure où il n'y a que deux hauteurs isolées.
. Cette famille est en attente de constitution modale combinée ou pas (avec plusieurs ou d'une seule échelle) et de vérification de ses transpositions exactes ou modifiées (où la taille change, mais pas les proportions), etc.

 

Voyons plus loin...
[suite des trouvailles des divisions non symétriques pour d’autres échelles multiples de 1/15 de ton]

2. multiples de 1/15^e de ton

Echelle de 1/15e de ton	(1/151)	=	1,00773	symétrique octaviante
Echelle de 2/15e de ton	(1/152)	=	1,0145526	asymétrique octaviante
Echelle de 1/5e de ton	(1/153)	=	1,02191	symétrique octaviante
Echelle de 4/15e de ton	(1/154)	=	1,02932	asymétrique non-octaviante
Echelle de 1/3 de ton	(1/155)	=	1,03678	symétrique octaviante
Echelle de 2/5e de ton	(1/156)	=	1,0443	asymétrique octaviante
Echelle de 7/15e de ton	(1/157)	=	1,05187	asymétrique non-octaviante
Echelle de 8/15e de ton	(1/158)	=	1,05946	asymétrique non-octaviante
Echelle de 3/5e de ton	(1/159)	=	1,06717	symétrique octaviante
Echelle de 10/15e de ton	(1/1510)	=	1,07491	asymétrique octaviante
Echelle de 11/15e de ton	(1/1511)	=	1,08448	asymétrique non-octaviante
Echelle de 4/5e de ton	(1/1512)	=	1,09055	asymétrique non-octaviante
Echelle de 13/15e de ton	(1/1513)	=	1,09846	asymétrique non-octaviante
Echelle de 14/15e de ton	(1/1514)	=	1,10642	asymétrique non-octaviante
Echelle de ton	(1/1515)	=	1,11445	symétrique octaviante

. remarque : contrairement à Z96, Z90 possède des échelles asymétriques non-octaviantes et asymétriques octaviantes dans les possibilités de Z90, mais elle n'a pas d'échelle symétrique non-octaviante.
[rappel : une échelle symétrique est une échelle qui répète ses rapports par division binaire (pair)]

 

Graphe des 15 échelles multiples de 1/15^e de ton :

Dont nous avons 7 échelles multiples de l’échelle d’1/15^e de ton qui ne sont pas symétriques dans l’octave et même l’ignore :

les échelles de :

4/15e	de ton	53,33..	cents	1,03128
7/15e	de ton	93,33..	cents	1,05538
8/15e	de ton	106,66..	cents	1,06354
11/15e	de ton	146,66..	cents	1,08839
4/5e	de ton	160	cents	1,09681
13/15e	de ton	173,33..	cents	1,10529
14/15e	de ton	186,66..	cents	1,11383

(rappel : 12√2 = 1,05946)

7 échelles non-octaviantes asymétriques et cycliques multiples de l’échelle 1/15 de ton (13,33.. cents) 90√2=1,00773 :
Graphe des 7 échelles asymétriques non-octaviantes multiples de l'échelle de 1/15^e de ton :

La symétrie n'apparait pas par l'inexistence d'une division pair. Ces 7 échelles divisent un cycle par un nombre impair et donc ne reconnaissent pas un centre de symétrie dans son cycle.

Propriétés de ces 7 échelles non octaviantes multiples de 1/15e de ton (13,33.. cents) 90√2=1,00773 :

1. L'échelle de 4/15 de ton (53,33.. cents ou 1,03128) divise la 6te mineur (800 cents ou 1,58736) en 15 intervalles équidistants et reproduit les intervalles de 8ve + 3ce majeur (2 . 6te m), (3 . 6te m), etc. : 4/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 6te mineur et ses multiples : 15√1,58736 = 1,03128. Reste la prégnance de la quinte avec battement au 13e degré, même si celle-ci est plus petite (693,3 cents contre 700 cents). Reste la prégnance de l'octave avec battement au 22e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33.. cents contre 1200 cents) plus qu'au 23e degré qui sonnent tous deux résolument "faux". 1/4 de ton = 50 cents. Double octave juste au 45e degré (2400 cents = 45 . 53,33..). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
00: 0 unison
01: 53.333 cents
02: 106.667 cents
03: 160.000 cents
04: 213.333 cents
05: 266.667 cents
06: 320.000 cents
07: 373.333 cents
08: 426.667 cents
09: 480.000 cents
10: 533.333 cents
11: 586.667 cents
12: 640.000 cents
13: 693.333 cents
14: 746.667 cents
15: 800.000 cents

2. L'échelle de 7/15 de ton (93,33.. cents ou 1,05538) divise l'octave + la seconde majeur (1400 cents ou 2,24483) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+2de M (2 . 8ve+2de M), (3 . 8ve+2de M), etc. : 7/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+2deM et ses multiples : 15√2,24483 = 1,05539. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 13e degré, même si celle-ci est plus grande (1213.33 cents contre 1200 cents). 1/2 de ton = 100 cents. téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
00: 0
01: 93.333 cents
02: 186.667 cents
03: 280.000 cents
04: 373.333 cents
05: 466.667 cents
06: 560.000 cents
07: 653.333 cents
08: 746.667 cents
09: 840.000 cents
10: 933.333 cents
11: 1026.667 cents
12: 1120.000 cents
13: 1213.333 cents
14: 1306.667 cents
15: 1400.000 cents

3. L'échelle de 8/15 de ton (106,66.. cents ou 1,06354) divise l'octave + 3ce majeur (1600 cents ou 2,51972) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+3ce M (2 . 8ve+3ce M), (3 . 8ve+3ce M), etc. : 8/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+3ceM et ses multiples : 15√2,51972 = 1,06355. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 11e degré, même si celle-ci est plus petite (1173.33 cents contre 1200 cents). 1/2 de ton = 100 cents. téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
00: 0
01: 106.667 cents
02: 213.333 cents
03: 320.000 cents
04: 426.667 cents
05: 533.333 cents
06: 640.000 cents
07: 746.667 cents
08: 853.333 cents
09: 960.000 cents
10: 1066.667 cents
11: 1173.333 cents
12: 1280.000 cents
13: 1386.667 cents
14: 1493.333 cents
15: 1600.000 cents

4. L'échelle de 11/15 de ton (146,66.. cents ou 1,08839) divise l'octave + 7me mineur (2200 cents ou 3,56337) en 15 intervalles équidistants et répète les intervalles d'8ve+7e m (2 . 8ve+7e m), (3 . 8ve+7e m), etc. : 11/15e de ton est une échelle cyclique qui répète l'intervalle de 8ve+7em et ses multiples : 15√3,56337 = 1,08841. Entre 9√2 et 8 √2. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 8e degré, même si celle-ci est plus petite (1173,33 cents contre 1200 cents). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
00: 0
01: 146.667 cents
02: 293.333 cents
03: 440.000 cents
04: 586.667 cents
05: 733.333 cents
06: 880.000 cents
07: 1026.667 cents
08: 1173.333 cents
09: 1320.000 cents
10: 1466.667 cents
11: 1613.333 cents
12: 1760.000 cents
13: 1906.667 cents
14: 2053.333 cents
15: 2200.000 cents

5. L'échelle de 4/5 de ton (160 cents ou 1,09681, est incluse dans l'échelle de 4/15 de ton) divise la 6te mineur (800 cents ou 1,58736) en 5 intervalles équidistants et répète l'intervalle de 6te m : (2 . 6te m), (3 . 6te m), etc. : 4/5e de ton est une échelle cyclique : 5√1,58736 = 1,09682. Double octave juste au 15e degré (2400 cents = 15 . 160). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
0: 0
1: 160.000 cents
2: 320.000 cents
3: 480.000 cents
4: 640.000 cents
5: 800.000 cents

6. L'échelle de 13/15 de ton (173,33.. cents ou 1,10529) divise (2600 cents ou 4,48998) en 15 intervalles équidistants et répète l'intervalle de double octave + 2de majeur : (2 . (2 . 8ve+2deM)), (3 . (2 . 8ve+2deM)), (4 . (2 . 8ve+2deM)) : 13/15e de ton est une échelle cyclique : 15√4,48998 = 1,10531. Reste la prégnance de l'octave avec battement au 7e degré, même si celle-ci est plus grande (1213,33 cents contre 1200 cents). téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
00: 0
01: 173.333 cents
02: 346.667 cents
03: 520.000 cents
04: 693.333 cents
05: 866.667 cents
06: 1040.000 cents
07: 1213.333 cents
08: 1386.667 cents
09: 1560.000 cents
10: 1733.333 cents
11: 1906.667 cents
12: 2080.000 cents
13: 2253.333 cents
14: 2426.667 cents
15: 2600.000 cents

7. L'échelle de 14/15 de ton (186,66.. cents ou 1,11383) divise (2800 cents ou 5,0383) en 15 intervalles équidistants et répète l'intervalle de double octave + 3ce majeur : (2 . (2 . 8ve+3ceM)), (3 . (2 . 8ve+3ceM)), (4 . (2 . 8ve+3ceM)) : 14/15e de ton est une échelle cyclyque : 15√5,0383 = 1,11383. téléchargez le Scala tuning script .scl, download the tuning script for Kontakt sampler .nkp
00: 0
01: 186.667 cents
02: 373.333 cents
03: 560.000 cents
04: 746.667 cents
05: 933.333 cents
06: 1120.000 cents
07: 1306.667 cents
08: 1493.333 cents
09: 1680.000 cents
10: 1866.667 cents
11: 2053.333 cents
12: 2240.000 cents
13: 2426.667 cents
14: 2613.333 cents
15: 2800.000 cents

Remarques :
Les 7 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z90 (1/15e de ton) sont toutes cycliques et divisent le cycle en nombre d'intervalles impairs par 15 ou 5. Le cycle est un intervalle élément de Z12, c'est-à-dire que chacune de ces échelles a un « pied », un passage dans l'échelle tempérée Z12. Les 6 intervalles « passages » sont la 6te mineur, l'8ve+2de M, l'8ve+3ce M, l'8ve+7e m, la double 8ve+2deM et la double 8ve+3ceM. La prégnance de l'octave dans 5 échelles sur 7 reste forte (malgré leur non-octaviation numérique). Les échelles de 4/15 de ton et de 4/5 de ton rencontrent la double octave. Les échelles de 7/15 de ton et 8/15 de ton cernent l'échelle d' 1/2 ton. L'échelle de 4/15 de ton (53,33.. cents) taquine l'échelle de 1/4 de ton (50 cents).

Passages de l'une à l'autre
(transitions d'échelles Z90 (pas transposition))

Le passage se fait lorsqu'il y a connexion pour une correspondance, c'est-à-dire un élément commun à deux ou plusieurs échelles. Bien sûr le passage peut se faire par « saut » sans la nécessité d'un élément commun ou d'une connexion.

Correspondances :
Voici les 30 premières correspondances entre les 7 échelles non-octaviantes de l'ensemble Z90 qui permettent la transition d'une échelle à une autre par au moins un élément commun (lignes grisées horizontales dans le graphe). Nous nous sommes limités à deux cycles de 4/15e de ton.
01. 2 . 4/15e & 1 . 8/15e
02. 3 . 4/15e & 1 . 4/5e
03. 2 . 7/15e & 1 . 14/15e
04. 4 . 4/15e & 2 . 8/15e
05. 6 . 4/15e & 3 . 8/15e & 2 . 4/5e
06. 7 . 4/15e & 4 . 7/15e & 2 . 14/15e
07. 8 . 4/15e & 4 . 8/15e
08. 9 . 4/15e & 3 . 4/5e
09. 10 . 4/15e & 5 . 8/15e
10. 6 . 7/15e & 3 . 14/15e
11. 11 . 4/15e & 4 . 11/15e
12. 12 . 4/15e & 6 . 8/15e & 4 . 4/5e
13. 13 . 4/15e & 4 . 13/15e
14. 14 . 4/15e & 8 . 7/15e & 7 . 8/15e & 4 . 14/15e
15. 15 . 4/15e & 5 . 4/5e = 6te mineure
16. 16 . 4/15e & 8 . 8/15e
17. 6 . 11/15e & 5 . 13/15e
18. 10 . 7/15e & 5 . 14/15e
19. 18 . 4/15e & 9 . 8/15e & 6 . 4/5e
20. 11 . 7/15e & 7 . 11/15e
21. 20 . 4/15e & 10 . 8/15e
22. 21 . 4/15e & 12 . 7/15e & 7 . 4/5e & 6 . 14/15e
23. 22 . 4/15e & 11 . 8/15e & 8 . 11/15e
24. 13 . 7/15e & 7 . 13/15e
25. 24 . 4/15e & 12 . 8/15e & 8 . 4/5e
26. 14 . 7/15e & 7 . 14/15e
27. 26 . 4/15e & 13 . 8/15e & 8 . 13/15e
28. 27 . 4/15e & 9 . 4/5e
29. 28 . 4/15e & 16 . 7/15e & 14 . 8/15e & 8 . 14/15e
30. 30 . 4/15e & 15 . 8/15e & 10 . 4/5e = 8ve + 3ce majeure

Sur les premiers 30 degrés, l'échelle de 4/15e de ton rassemble presque toutes les correspondances sauf le 3eme, le 10eme, le 17eme, le 18eme, le 20eme, le 24eme et le 26eme : 7 degrés sur 23. La réunion des correspondances donne le mode suivant (rappel : 1/15e de ton <=> 13,33.. cents) :

n°	x/15e de ton	cents	nom des intervalles dans Z12	points de correspondances	nombre de correspondances
0	1	0	origine	1	7
1	8/15e
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15			6te m
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30			8ve + 3ce M
	etc.	etc.		etc.

Dans sa forme nous constatons des rapports de phases d'échelles où le mode des correspondances résultant ne se répète jamais par les "glissement" constants de ses 7 cycles les uns sur les autres. Ce sont les mêmes principes que les déphasages rythmiques initiés par Steve Reich avec Drumming par exemple, mais ici dans le champ des hauteurs.

...

 

Mélangeons les échelles non-octaviantes (mais cycliques) de Z96 et Z90, ce qui nous donne :

Suite des 15 échelles cycliques non-octaviantes de Z96 (1/16e de ton) et de Z90 (1/15e de ton) - (rappel 100 cents = 1/2 ton : 1.05946) :

n°	ton		cent		rapports	exemples musicaux
01	4/15e	de ton	53,33..	cents	1,03128	chopin 4/15
02	5/16e	de ton	62,5	cents	1,03678	chopin 5/16
03	7/16e	de ton	87,5	cents	1,05187	chopin 7/16
04	7/15e	de ton	93,33..	cents	1,05538	chopin 7/15
05	8/15e	de ton	106,66..	cents	1,06354	chopin 8/15
06	9/16e	de ton	112,5	cents	1,06717	chopin 9/16
07	5/8e	de ton	125	cents	1,07491	chopin 5/8
08	11/16e	de ton	137,5	cents	1,0827	chopin 11/16
09	11/15e	de ton	146,66..	cents	1,08839	chopin 11/15
10	4/5e	de ton	160	cents	1,09681	chopin 4/5
11	13/16e	de ton	162,5	cents	1,09846	chopin 13/16
12	13/15e	de ton	173,33..	cents	1,10529	chopin 13/15
13	7/8e	de ton	175	cents	1,10642	chopin 7/8
14	14/15e	de ton	186,66..	cents	1,11383	chopin 14/15
15	15/16e	de ton	187,5	cents	1,11445	chopin 15/16

Nous constatons que les 4 premières échelles sont microtonales et que les 11 autres sont macrotonales (nous nous sommes arrêtés avant le ton : 200 cents) montre que la frontière est arbitraire. Les échelles de 7/15e et de 8/15e cernent et sont proches de l'échelle de 1/2 ton mais ne reproduit pas ses proportions (sa sonorité). Afin de rendre ces échelles à une perception plus concrète, nous nous sommes amusés à interpréter ces échelles avec une musique bien connue de tous de Frédérique Chopin : sa Valse op 64 n°2 déclinée dans toutes ces échelles (écoutez les exemples ci-dessus dans le tableau ou téléchargez le tout dans le conteneur 45Mo.zip). Les échelles sont construites sur l'origine du do3 médian à 261.63Hz accordées au diapason la3 à 440Hz.

 

3eme exploration
(échelles octaviantes qui ne divisent pas le ton)

Divisions de l’octave qui ne divise pas le ton :

5 hauteurs par octave
7 hauteurs par octave
8 hauteurs par octave
9 hauteurs par octave
10 hauteurs par octave
11 hauteurs par octave
13 hauteurs par octave
14 hauteurs par octave
15 hauteurs par octave
16 hauteurs par octave
17 hauteurs par octave
19 hauteurs par octave
20 hauteurs par octave
21 hauteurs par octave
22 hauteurs par octave
23 hauteurs par octave
25 hauteurs par octave
26 hauteurs par octave
27 hauteurs par octave
28 hauteurs par octave
29 hauteurs par octave

Ce qui nous intéresse dans cette recherche, est de localiser les échelles asymétriques qui n’intègrent pas l’octave ainsi que de laisser les premiers intervalles de la série harmonique telle que 8ve, 5te, 4te, 3ce et 2de. Nous cherchons des échelles qui puissent nous faire percevoir d'autres sensations et d’autres sonorités (couleurs du temps) : sans toucher à ce qui est déjà connu.

Les nombres ne sont pas exacts tout comme notre perception, il existe ce que l’on nomme « une marge d’erreur » qui nous oblige à l’approximation. Mais certaines perceptions sont mémorisées de façon très précise, et « un petit mouvement sur le côté » et la perception n’est plus la même. Nous utilisons les nombres comme repaires afin de se rendre compte des proportions qui nous concernent dans les intervalles et les correspondances.

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